Ayudar a un novato a entender los términos del álgebra lineal

Question

Estoy tomando una clase de Álgebra, pero estoy teniendo un problema para entender exactamente lo que se me pide que haga - creo que estoy teniendo un problema con el vocabulario que se utiliza. Tengo un par de preguntas a continuación y le agradecería, si usted podría tomar el tiempo para explicar (en términos de laicos o tal vez los términos del programador, exactamente lo que se pide. gracias de antemano.

1) Que $[e_1; e_2; e_3]$ sean los vectores base estándar en $\mathbb{R}^{3}$ y considerar la base ordenada: $[e_2; e_1; e_3 + e_1]$ Comprueba que se trata realmente de una base y encuentra las coordenadas del vector $(1; 1; 1)^T$ con respecto a esa base.

2) Que $T$ sea el mapa lineal de $\mathbb{R}^{2}$ a $\mathbb{R}$ definido por: $T ((x, y)^T ) = x-y$ Encuentre su matriz (con respecto a las bases estándar) y una base para su núcleo

3) Encontrar un conjunto de vectores de extensión para la imagen del mapa lineal de $\mathbb{R}^{2}$ a $\mathbb{R}^{3}$ definido por: $T ((x, y)^T) = (2x-y, x + y, y)$

4) Considere el subespacio U de $\mathbb{R}^3$ definido por: $ U = \{(x; y; z)^T: 2x- y + z = 0; x + y = 0 \} $ . Expresar U como el núcleo de un mapa lineal adecuadamente definido y la matriz de ese mapa con respecto a las bases estándar del correspondiente $\mathbb{R}^n$ 's

Answer 1

Todos estos términos son de uso estándar, por lo que deberías poder encontrar las definiciones precisas en cualquier texto de álgebra lineal o en Wikipedia para las definiciones precisas. Sin embargo, a continuación se presentan algunas definiciones que pueden ayudarte a entender mejor la terminología.

(A). Un subconjunto $S$ de un espacio vectorial se dice que span el espacio si cada vector del espacio, esté o no en el subconjunto, puede escribirse como una combinación lineal de los elementos de $S$ .

(B). A base de un espacio vectorial $V$ es una colección de elementos de $V$ tal que cualquier otro vector puede expresarse de forma única como una combinación lineal de esos elementos. En la práctica, esto significa que una base $B$ abarca el espacio y es linealmente independiente. Comprobar que un conjunto dado es una base equivale entonces a verificar que cualquier elemento $v \in V$ puede expresarse como una combinación lineal de los elementos de $B$ y que cualquier combinación lineal de los elementos de $B$ que se suma a la $0$ vector implica necesariamente que los escalares utilizados en la combinación lineal son todos $0$ - Por otro lado, la expresión para $v$ no sería necesariamente único.

(C). El núcleo de una transformación lineal $T$ es el conjunto de elementos del dominio que se asignan a $0$ . Así que para el mapa $T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ el núcleo vendría dado por $ker(T) = \{v \in \mathbb{R}^2 | T(v) = 0 \}$ .

La pregunta 1 te pide básicamente que verifiques los aspectos de la definición dilucidada en (B) para concluir que el conjunto dado es, de hecho, como base y que encuentres los escalares que necesitas para escribir $(1,1,1)^T$ como una combinación lineal de elementos en esta base.

Para la pregunta 2, primero hay que calcular el núcleo como se describe en (C) y luego determinar un conjunto de vectores que satisfagan los criterios de una base como se describe en (B)

Para la pregunta 3, sólo hay que determinar el gama del mapa, que resultará ser de hecho un subespacio, y luego un conjunto de vectores que comprenderán un conjunto de extensión como el descrito en (A). Esto es esencialmente pedirle que resuelva la "mitad" del problema de la base...

Answer 2

1) Esto es sólo una pregunta de cambio de base. Te pide que sepas que los tres vectores dados son realmente una base (es decir, linealmente independientes). Luego te pide que tomes este vector $[1;1;1]^T$ y expresar sus coordenadas en la nueva base; es decir, qué combinación lineal de los tres vectores dados produce el mismo vector que $[1;1;1]^T$ en la base original.

2) y 3) Tengo dudas sobre estas preguntas. Ninguna de las funciones dadas son realmente mapas lineales, lo que se ve fácilmente en 2) por $T(2{\vec v}) = 4T({\vec v})$ . Es una forma bilineal (si la tratas como una función de dos argumentos), pero no esperaría que apareciera en un curso de introducción. También es una forma cuadrática, si eso es lo que quieres decir. La función en 3) no es ninguna de estas, por supuesto. Por favor, comprueba tu transcripción. Si tu transcripción es correcta vas a tener que ir a preguntarle a tu profesor qué quiso decir exactamente con estas preguntas, porque tal como están escritas no tienen sentido.

Answer 3

1) A base es un conjunto de vectores que pueden utilizarse para componer cualquier vector dado mediante estiramiento/compresión/inversión (escalado) y suma/resta (combinación). Estas combinaciones de vectores se denominan combinaciones lineales . Una base debe cumplir dos requisitos

(1) cada vector base debe ser independiente (no se puede formar a partir de una combinación lineal de los otros vectores). (es decir, no son demasiados)

(2) debe ser capaz de componer cualquier vector en el espacio/subespacio dado (debe span el espacio). (es decir, no muy pocos)

Un análogo natural a una base son los números primos o los colores primarios. Combinando los componentes se puede componer cualquier número entero o color respectivamente.

La base estándar es el conjunto de vectores unitarios que son ortogonales entre sí a lo largo de los ejes de coordenadas. Sin embargo, no es la única opción, ya que podemos formar otras bases válidas combinando linealmente los componentes de la base estándar. Esto es lo que se plantea en la primera pregunta. Dado que un vector se representa como $(1,1,1)$ en la base estándar, cuál es su representación en la nueva base. Se trata de un sistema lineal de ecuaciones de 3x3. (Volviendo a la analogía del color, si nos dan un color en valores RBG, cómo representamos el mismo color en términos de componentes HSV o CMYK).

2) La transformación toma un par de números (vector bidimensional) y lo transforma en un escalar (vector unidimensional). Encontrar su matriz significa encontrar una matriz tal que $T ((x, y)^T ) = \mathbf A [x, y]^T = x-y$ . Obsérvese que A es un combinación lineal de los componentes $x$ y $y$ . El núcleo de $\mathbf A$ es el conjunto de vectores $[x, y]^T$ tal que $\mathbf A [x, y]^T = 0$ . Esto se conoce comúnmente como el Espacio nulo .

3) A conjunto de vectores de extensión es similar a una base, excepto que no tienen que ser necesariamente linealmente independientes como una base. El imagen de una transformación es simplemente el resultado de una transformación particular de un vector dado $[x, y]^T$ .

4) Tienes un subespacio definido por dos restricciones (es decir, dos ecuaciones planas). Como no son paralelas, se cruzan en una línea. Este es su subespacio que es 1-D. Por lo tanto, el subespacio se representaría como una línea. Se busca una transformación de 3x3 que mapee cada punto $[x, y, z]^T$ a esa línea. Se trata de una transformación de proyección. La base del subespacio está definida por el producto cruzado de $\mathbf v=[2, -1, 1]^T$ y $\mathbf w=[1, 1, 0]^T$ definido por $\mathbf x = \mathbf v\times \mathbf w$ . La transformación de proyección es $\mathbf x \mathbf x^T / (\mathbf x^T \mathbf x)$ . El núcleo del subespacio es bidimensional y está definido por el plano perpendicular a $\mathbf x$ y está atravesado por $\mathbf v$ y $\mathbf w$ De hecho, forman una base (no ortogonal) para el núcleo.

P.D. Le recomiendo encarecidamente que vea el curso de introducción al álgebra lineal de Gilbert Strang en http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/

Answer 4

Así es como enseñé a mis alumnos a comprobar si algunos elementos forman una base. Podrías ir por la definición, pero te llevará más tiempo, y de hecho tienes que comprobar exactamente lo que digo.

1) El conjunto de vectores $[e_2; e_1; e_3+e_1]$ son los siguientes vectores escritos en coordenadas: $[(0,1,0); (1,0,0);,(1,0,1)]$ . Ahora, para ver si forman una base, calcula el determinante $\left| \begin{matrix} 0 &1&0 \\ 1&0&0 \\ 1&0&1 \end{matrix}\right|$ . Si el resultado no es cero, entonces has encontrado una base.

Para encontrar las coordenadas de $(1,1,1)$ en esa base, escriba $(1,1,1)=a(0,1,0)+b(1,0,0)+c(1,0,1)$ e identificar las coordenadas. Obtendrás un sistema de ecuaciones del que deberías obtener $a,b,c$ que son las coordenadas requeridas.

2) Para encontrar la matriz de un mapa lineal en la base estándar basta con calcular el valor de $T$ en cada elemento de la base, y luego expresar cada una de las expresiones encontradas en términos de la segunda base (en tu caso es la base estándar), y poner los vectores resultantes en las columnas de una matriz.

Usted tiene $T(1,0)=1,\ T(0,1)=-1$ . Por lo tanto, la matriz de la aplicación es $(1\ -1)$ .

$T(x,y)=0$ implica $x=y$ . Por lo tanto, $\ker T=\{(a,a) : a \in \Bbb{R}=\{a(1,1): a \in \Bbb{R}\}$ . La idea es resolver el núcleo como un sistema lineal, y al final separar los parámetros que encontraste para encontrar una base. En tu caso, $(1,1)$ es una base para el núcleo, ya que sólo tenemos un parámetro.

3) De la misma manera que en el caso anterior, $T(1,0)=(2,1,0)$ y $T(0,1)=(-1,1,1)$ Por lo tanto, la matriz de la aplicación es $M=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1&1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Para un conjunto de vectores que se extienden, observe que $T(x,y)=x(2,1,0)+y(-1,1,1)$ por lo que se forma un conjunto de vectores de extensión con los vectores $(2,1,0),(-1,1,1)$ .

4) $T(x,y,z)=(2x-y+z,x+y)$ , $T :\Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^2$ . $T(1,0,0)=(2,1),\ T(0,1,0)=(-1,1),\ T(0,0,1)=(1,0)$ y, por tanto, la matriz es $M=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Answer 5

1) Una base es una tupla de vectores $e_1, \ldots, e_n \in V$ tal que para cualquier vector $x \in V$ puedes escribir $x = x^1 e_1 + \ldots + x^n e_n$ exactamente de una manera (es decir, los coeficientes, o coordenadas, $x^1, \ldots, x^n$ se definen de forma única para cada vector $x$ ).

2) Una función $f: V \to W$ entre dos espacios vectoriales sobre el mismo campo $K$ se llama lineal si $f(x + y) = f(x) + f(y)$ y $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ para cualquier vector $x, y \in V$ y para cualquier escalar $\alpha$ . Escogiendo una base en V y una base en W se puede representar $f$ por una matriz. Núcleo de $f$ es un subconjunto $\operatorname{ker}f \subset V$ de vectores $x \in V$ para lo cual $f(x) = 0$ se mantiene. Es fácil demostrar que se trata de un subespacio (un espacio vectorial propiamente dicho).

3) Asimismo, la imagen de $f$ es el conjunto de todos los vectores en $W$ que pueden ser sus "salidas". También es un subespacio. El conjunto de extensión es como la base, sólo que no se requiere la unicidad de las coordenadas.