haz de vectores de sección global

Question

¿existe siempre una sección global no nula en una variedad $M$ ? Si $M$ es compacto creo que lo hacen porque tomar una partición de la unidad $\rho_{\alpha}$ subordinado a un recubrimiento finito, y definiendo secciones locales $s_{\alpha}$ en esta cobertura finita puedo tomar $$s:=\sum s_{\alpha} \rho_{\alpha}$$ ¿Es correcto este argumento? Supongo que no es cierto para el general $M$ gracias

Answer 1

No es necesaria la compacidad, ni siquiera la paracompacidad (es decir, no es necesaria la partición de la unidad).
Tomemos cualquier sección continua en ninguna parte del haz vectorial sobre un subconjunto abierto trivializador $U$ para el haz vectorial , multiplicarlo por una función de meseta continua con soporte compacto en $U$ y se extienden por cero a la totalidad de la variedad: esto da lugar a una sección continua no idéntica a cero del haz vectorial.

NB He interpretado tu pregunta como si se tratara de tramos continuos no idénticos a cero: siempre existen.
Sin embargo, en general es imposible encontrar una sección cero en ninguna parte de un haz vectorial arbitrario en una variedad arbitraria, como se muestra en otras respuestas.
Pero a veces es posible: en una colector contraíble como $\mathbb R^n$ todos los haces vectoriales son triviales y, por tanto, no admiten ciertamente secciones continuas en ninguna parte.

Answer 2

No es cierto. Tomemos el haz de tangentes sobre una variedad. Una sección globalmente definida no nula es un campo vectorial no singular. El Teorema de Poincaré-Hopf relaciona la topología de su superficie con la existencia de un campo vectorial no singular. Si consideramos, por ejemplo, una esfera, no existen campos vectoriales continuos y no nulos en la esfera. Esto se denomina Teorema de la bola peluda . Esto es cierto para cualquier superficie compacta y orientable con un Característica de Euler .

Para más información, consulte Clases de Chern (en el caso complejo) y Clases de Stiefel-Whitney (en el caso real).

Answer 3

No, toda esfera de dimensiones pares es un contraejemplo (cf. Teorema de la bola peluda ).

Además, una variedad orientable cerrada admite una sección cero en ninguna parte de su haz tangente si su clase de Euler (y por tanto también su característica de Euler) desaparece.

Answer 4

En general, no es cierto.

Por ejemplo, tomemos el haz tangente de $\mathbb S^2$ . Entonces no se puede tener un campo vectorial no evanescente definido globalmente.