¿Por qué la generación finita significa algo diferente para las álgebras?

Question

Siempre me he preguntado por qué los módulos generados finitamente son de la forma

$$M=Ra_1+\dots+Ra_n$$

mientras que las álgebras finitamente generadas tienen la forma

$$R=k[a_1,\dots, a_n]$$

y las álgebras finitas tienen la forma

$$R=ka_1+\dots +ka_n$$

Me parece que esto es un abuso flagrante de la nomenclatura, y ciertamente me ha confundido en el pasado. ¿Existe alguna razón histórica para esta terminología? Cualquier referencia a la génesis de estos términos sería muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que los módulos sólo tienen una operación "interna", la suma; el álgebra tiene dos tales operaciones, la adición y multiplicación.

Cerrar algo bajo más las operaciones requieren más. En particular, si se requiere que $x^n\neq 1$ para todos $n$ para los generadores.

Observar $\mathbb{N,Z,Q}$ . Todos son generados por el número $1$ . Sólo que $\mathbb N$ sólo requiere el cierre bajo adición; $\mathbb Z$ requiere también el cierre por sustracción; y $\mathbb Q$ requiere el cierre bajo la división por elementos no nulos.

Del mismo modo, si tomamos $x$ y lo añadimos a un anillo [unital conmutativo] $R$ si sólo queremos definir $x+x$ y así sucesivamente, obtenemos un módulo generado por $x$ Es decir $R+Rx$ . Si, por el contrario, queremos permitir $x^n$ obtenemos efectivamente todos los polinomios en $x$ (concedido que no queremos $x$ para ser un elemento de torsión), a saber $R[x]$ .

Answer 2

Un módulo es una estructura aditiva. Los elementos del módulo se pueden sumar, no multiplicar. Por lo tanto, un módulo generado de forma finita debe estar formado por combinaciones lineales de un número finito de elementos de módulo.

Un álgebra tiene tanto la multiplicación como la suma. La notación para un módulo finitamente generado no comunica que los "generadores" puedan multiplicarse entre sí. Ahora hay un número finito de elementos del álgebra que se combinan de las formas legales (usando la suma, la resta y la multiplicación por otros generadores). La nueva notación $k[a_1,\ldots,a_n]$ intenta comunicar esto, aunque sólo sea por ser algo diferente a la notación del módulo.

Para mí, "álgebra finita" intenta comunicar que el álgebra es de dimensión finita. Y volvemos a tener un concepto aditivo (dimensión). Así que la notación vuelve al estilo de los módulos.

Answer 3

La terminología es realmente muy apropiada y precisa. Consideremos que "A es un X finitamente generado" significa "existe un conjunto finito G tal que A es el X más pequeño que contiene a G".

Si nos fijamos en sus ejemplos, supongamos que $M$ es un módulo finito generado por $a_1,\dots,a_n$ . Entonces $M$ contiene $a_1,\dots,a_n$ . Como es un módulo, debe contener todos los elementos de la forma $Ra_i$ y sus sumas, por lo que debe contener el módulo $Ra_1+\dots+Ra_n$ . Sin embargo, como este último objeto es de hecho un módulo, $M$ no necesita contener nada más y de hecho es igual a este módulo.

Si $R$ es un álgebra finitamente generada, podemos seguir el mismo procedimiento que antes. Sin embargo, como las álgebras tienen una operación adicional (la multiplicación), debemos permitir no sólo sumas de elementos de la forma $ka_n$ sino también sus productos. Esto nos da que $R$ debe contener todas las expresiones polinómicas en los elementos $a_1,\dots,a_n$ es decir, debe contener el álgebra $k[a_1,\dots,a_n]$ . De nuevo, ya que este último objeto es de hecho un álgebra, $R$ no necesita contener nada más y es igual a esta álgebra.

A finito parece ser un nombre para un álgebra que se genera finitamente como un módulo. Tu ejemplo es entonces consistente con lo que escribí arriba. Admito que el nombre parece algo engañoso.

Answer 4

Aclaremos esto primero: un álgebra o módulo $A$ está generado finitamente si existe un conjunto finito $F$ tal que $A$ es la subálgebra más pequeña, respectivamente submódulo, de $A$ que incluye $F$ . Así que la definición de finitamente generado es la misma en ambos casos. Pero dependiendo de si se trata de álgebras o de módulos, las generadas finitamente pueden escribirse de distintas formas. El porqué de esto se explica en las otras respuestas.