¿Esta secuencia matricial siempre converge?

Question

Supongamos que $a_0, a_1, ... , a_{n-1}$ son números reales de $(0; 1)$ de tal manera que $ \sum_ {k=0}^{n-1} a_k=1$ . Supongamos que $A = (c_{ij})$ es un $n \times n$ matriz con entradas $c_{ij} = a_{(i-j)\%n}$ donde $\%$ es la operación de módulo. ¿Es siempre cierto que $ \lim_ {m \to \infty } A^m = \frac {1}{n} \begin {pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end {pmatrix}$ ?

Esta declaración es válida para $n = 2$ : Supongamos que $A = \begin {pmatrix} a_0 & {1 - a_0} \\ {1 - a_0} & a_0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end {pmatrix}^{-1} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & {1-2a_0} \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end {pmatrix}$ . Porque $a_0$ está en $(0; 1)$ , $1-2a_0$ está en $(-1;1)$ . Así $$ \lim_ {m \to \infty } A^m = \begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end {pmatrix}^{-1} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end {pmatrix} = \frac {1}{2} \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end {pmatrix}$$

Sin embargo, no sé cómo probar que esta declaración es arbitraria $n$ .

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Esto se desprende directamente de la Teorema de Perron-Frobenius .

Answer 2

Tu matriz $A$ es un matriz circulante :

$$A = \begin {bmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_0 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_0 \\ \end {bmatrix}$$

$A$ se sabe que tiene valores propios iguales a $ \lambda_j = \sum_ {k=0}^{n-1} a_k \omega_j ^k$ con eigenvectores $ \begin {bmatrix} 1 \\ \omega_j \\ \omega_j ^2 \\ \vdots \\ \omega_j ^{n-1} \end {bmatrix}$ donde $ \omega_j = e^{ \frac {2 \pi ij}{n}}$ para $j = 0, \ldots n-1$ .

Por lo tanto, podemos diagonalizar $A$ de la siguiente manera:

$$A = P^{-1}DP = \begin {bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \omega_0 & \omega_1 & \cdots & \omega_ {n-1} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \omega_0 ^{n-1} & \omega_1 ^{n-1} & \cdots & \omega_ {n-1}^{n-1} \end {bmatrix}^{-1} \begin {bmatrix} \lambda_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_ {n-1} \\ \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \omega_0 & \omega_1 & \cdots & \omega_ {n-1} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \omega_0 ^{n-1} & \omega_1 ^{n-1} & \cdots & \omega_ {n-1}^{n-1} \end {bmatrix}$$

La desigualdad del triángulo para los valores propios da

$$| \lambda_j | = \left | \sum_ {k=0}^{n-1} a_k \omega_j ^k \right | \le \sum_ {k=0}^{n-1} a_k | \omega_j |^k = \sum_ {k=0}^{n-1} a_k = 1$$

con la igualdad de condiciones si y sólo si $\{a_0, a_1 \omega_j , \ldots , a_{n-1} \omega_j ^{n-1}\}$ se encuentran en el mismo lado de una sola línea que atraviesa el origen. Claramente esto es cierto si $j = 0$ para que los valores propios satisfagan $ \lambda_0 = 1$ y $| \lambda_j | < 1$ para $j = 1, \ldots , n-1$ .

Por lo tanto, dejar $m \to\infty $ en $A^m = P^{-1}D^mP$ da

\begin {alinear} \lim_ {m \to\infty } A^m &= \begin {bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \omega_0 & \omega_1 & \cdots & \omega_ {n-1} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \omega_0 ^{n-1} & \omega_1 ^{n-1} & \cdots & \omega_ {n-1}^{n-1} \end {bmatrix}^{-1} \begin {bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \omega_0 & \omega_1 & \cdots & \omega_ {n-1} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \omega_0 ^{n-1} & \omega_1 ^{n-1} & \cdots & \omega_ {n-1}^{n-1} \end {bmatrix} \\ &= \begin {bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \omega_0 & \omega_1 & \cdots & \omega_ {n-1} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \omega_0 ^{n-1} & \omega_1 ^{n-1} & \cdots & \omega_ {n-1}^{n-1} \end {bmatrix}^{-1} \begin 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end {bmatrix} \end {alinear}

Puedes calcular esto a mano, o notar que las columnas de $ \lim_ {m \to\infty } A^m$ satisfacer el sistema $Px = \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end {bmatrix}$ que puedes resolver.

La suma $ \sum_ {k=0}^{n-1} \omega_k ^j$ es igual a $0$ aquí, lo que sugeriría que el límite no tiene que ser de la forma que usted especificó.