Un mapa linear $\phi$ de una álgebra de von Neumann M a la álgebra de sub N se llama una expectativa condicional cuando $\phi$ tiene las siguientes propiedades. ¿1 $\phi(I)=I$, 2) $\phi(x{1}yx{2})=x{1}\phi(y)x{2}$ cuando $x{1},x{2}\in M$ y $y\in N.$ puede alguien explicarme porqué este mapa se llama expectativa condicional? ¿Cómo se relaciona con el caso clásico? Gracias de antemano.
Respuesta
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Supongo, por el "caso clásico", que significa el condicional expectativas utilizado en la teoría de la probabilidad.
Deje $(\Omega, \Sigma, \mathbb P)$ ser un espacio de probabilidad con $\Sigma$ $\sigma$- álgebra y deje $\Sigma_0 \subset \Sigma$ ser un sub-$\sigma$-álgebra. Usted tiene una inclusión natural $$ L^\infty(\Omega, \Sigma_0) \subset L^\infty(\Omega, \Sigma)$$ Ambos son álgebras de von Neumann y la inclusión conserva la probabilidad de medida $\mathbb P$. La clásica teoría de la probabilidad, le da una esperanza condicional $$\mathbb E(\cdot | \Sigma_0): L^\infty(\Omega, \Sigma) \to L^\infty(\Omega, \Sigma_0).$$ This is a (weak-$\ast$ continuous) conditinal expectation in the sense of von Neumann algebras, i.e. it is unit-preserving and $$X \, \mathbb{E}( Y | \Sigma_0) \, Z = \mathbb{E}(X \, Y \, Z | \Sigma_0),$$ for every $Y, Z$ $\Sigma_0$-medible.
Si quieres una sugerencia sobre cómo obtener la esperanza condicional $\mathbb{E}( \cdot | \Sigma_0)$ uso justo que, desde la inclusión de arriba es $\mathbb P$-la conservación, se extiende a una inclusión $j: L^1(\Omega, \Sigma_0;\mathbb P) \to L^1(\Omega, \Sigma; \mathbb P)$. Dualizing que la inclusión da la esperanza condicional. La misma prueba funciona en (finito) álgebras de von Neumann si la von Neumann sub-álgebra es unital.
