Resolver $a^2 - 2b^2 - 3 c^2 + 6 d^2 =1 $ $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ de números enteros

Question

Somos capaces de resolver por completo esta variante de la ecuación de Pell? $$ x_1^2 - 2x_2^2 - 3x_3^2 + 6x_4^2 = 1 $$ Esto tiene una interpretación como es la relativa a la unidad fundamental de la ecuación de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}[x,y]/(x^2 - 2, y^2 - 3)$ así como diversos irreductible cuárticas. Es esta la misma como la solución de tres ecuaciones de Pell?

\begin{eqnarray*} x^2 - 2y^2 &=& 1 \\ x^2 - 3y^2 &=& 1 \\ x^2 + 6y^2 &=& 1 \tag{%#%#%} \end{eqnarray*}

Nuestro instinto sugiere que debería ser de tres grados de libertad aquí, y la configuración de las diferentes variables a cero podemos encontrar tres dos de ellas (la tercera ecuación no tiene soluciones sobre $\ast$). ¿Que generar todas las soluciones?

Answer 1

Ecuación dada anteriormente se muestra a continuación:

$a^2-2b^2-3c^2+6d^2=1$

Como se muestra en "Ja", "OP" Qué es tomar (a, b, c, d) como se muestra a continuación:

$a=p(6w^2+4w+3)$

$b=p(2w^2+6w+1)$

$c=p(4w^2+4w+2)$

$d=p(2w^2+4w+1)$

Donde $(p)= [1/(2w^2-1)]$

Para el conveniente valor de 'w' obtenemos las soluciones numéricas a continuación:

w=(1), (a, b, c, d) = (13, 9, 10, 7)

w=(3/4), (a, b, c, d) = (75, 53, 58, 41)

w=(5/7), (a, b, c, d) = (437, 309, 338, 239)

Answer 2

$$x^2-2y^2-3z^2+6q^2=1$$

Uso de lo que cualquier decisión $a^2-2b^2=1$ y $c^2-2d^2-3k^2+6t^2=1$

$$x=ac\pm{2bd}$$

$$y=ad\pm{bc}$$

$$z=ak\pm{2bt}$$

$$q=at\pm{bk}$$