¿Podemos encontrar la entrada$s_{23}$ de$S=H^3$ donde $ H = \ pmatrix {2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ - 1 & 1 & 1}$ without finding $ S$. I know that $ s_ {23}$ is given by multiplying the second row of $ H ^ 2$ and the third coloumn of $ H $ pero es aburrido. Gracias por cualquier pista!
Respuestas
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Si usted no desea calcular el $H^3$ o $H^2$, usted puede tomar el vector $v=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}^T$ y calcular el $w=H \cdot H \cdot H \cdot v = H \cdot H \cdot \begin{pmatrix}0&2&1\end{pmatrix}^T$. La entrada $s_{23}$ será la segunda coordenada de $w$.
Usted necesita 18 multiplicaciones y 12 adiciones a este cálculo. El cálculo de $H^2$ tendría 27 de multiplicaciones y 18 adiciones. No sé si esto es demasiado 'aburrido' para usted ;)
Esto funciona desde $s_{23}$ $e_2$- componente de la imagen de $e_3$ bajo $S$.
Edit: menos Aún es necesario trabajar por un comentario de celtschk. Podemos extraer la $e_2$-componente de $H H \begin{pmatrix}0&2&1\end{pmatrix}^T$ multiplicando con $\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}$ desde la izquierda. Por lo tanto, podemos calcular el $$s_{23} = \begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix} HH \begin{pmatrix}0&2&1\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}3&1&1\end{pmatrix} H \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$$, con 12 multiplicaciones y 8 adiciones.
Mala
Puntos
4197
El polinomio característico de a $H$ $$X^3-4X^2+6X-3.$$
Por lo tanto, $$H^3=4H^2-6H+3I=H(4H-6I)+3I.$$
El elemento $(H^3)_{23}$ es entonces el producto de la segunda fila de $H$ los tiempos de la tercera columna de $4H-6I$ (más que nada desde $3I$ elemento $(2,3)$ igual a $0$).
Necesitamos $18$ productos y $12$ adiciones para obtener el polinomio, además de la ampliación de los términos. Después de que necesitamos 1 adición (de la -6I), 3 multiplicaciones (a partir de las 4H), además de 3 multiplicaciones y 2 incorporaciones de la segunda fila tercera columna del producto.
Pero bueno, de esta manera no es aburrido!
