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Interpretación de una pregunta de probabilidad aparentemente simple

Yo era esta pregunta en una entrevista, y que inicialmente no responder correctamente a pesar de que todavía creo que mi interpretación puede haber sido la correcta. La pregunta era:

Hay dos camiones de entrega, a y B. las entregas entre las 8 y las 10 de la mañana, y B hace entregas, entre las 9am y 11am. Las entregas están distribuidos de manera uniforme para ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier entrega de B tendrá lugar antes de la entrega de Una?

¿Cuál es tu respuesta, y por qué? Gracias de antemano.

11voto

Matt Puntos 588

Es de 1/8. Ver la figura siguiente, que muestra el tiempo de entrega en el eje x y B en el eje y. Dado que las entregas están distribuidos de manera uniforme, en todos los puntos en el cuadrado tienen la misma probabilidad de ocurrir. B envía antes de que sólo en la región sombreada, que es de 1/8 del total de la figura.

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Otra forma de verlo es pensar que hay un 50% de probabilidad que ofrece antes de B, incluso comienza, y 50% de probabilidad de que B envía después de que se hace, es decir, que hay un 75% de probabilidad de que uno o ambos de los sucediendo. En el 25% de probabilidad de que ambos entregar en la superposición de hora, es una 50-50 posibilidad de que se entrega la primera.

3voto

katosh Puntos 132

Debido a que no se especifican las tasas de entrega, supongamos que A entrega paquetes$a$ por hora y B entrega$b$ paquetes por hora. Entonces, hay$2a \cdot 2b$ pares de tiempos de entrega. La ventana en la que A y B se superponen en los tiempos de entrega tiene solo$a \cdot b$ pares, en la mitad de los cuales A viene antes que B. Entonces, la proporción de pares en los que A entra antes que B es $$ \ frac {a \ cdot b } {2} \ frac {1} {2a \ cdot 2b} = \ frac {1} {8}. $$

-1voto

figurassa Puntos 462

Topé con este y lo tengo en mi cabeza. :-)

La respuesta parece que debe depender de la relación número de entregas de cada camión hace en la hora de la posible superposición (9a-10a) - no hay respuesta constante.

Por ejemplo, supongamos que cada camión hace 2 total de envíos (1 por hora). Ellos me hacen cada uno 1 entrega entre el 9 y el 10 y B no batir nada de A. Así, la probabilidad es de 0 en ese caso.

Considere la posibilidad de una versión simplificada del problema que sólo se hacen entregas entre 9-10a (sigue una distribución uniforme). Y, para empezar, supongamos que hacer el mismo número de entregas, n.

  • La primera entrega de B va a vencer a todo, excepto la primera entrega de Una (que es igual). Así que, con una probabilidad de $\frac{1}{n}$ (la probabilidad de que somos la primera entrega para B) que vencer a un evento con una probabilidad de $\frac{n-1}{n}$ (la probabilidad de que no eres la primera entrega de Una)
  • La segunda entrega de la B batir todo a excepción de las dos primeras entregas de A. Así que, con una probabilidad de $\frac{1}{n}$ le ganamos a un evento con probabilidad $\frac{n-2}{n}$
  • etc.

Poniendo cada uno de esos términos en una suma, obtenemos:

$(\frac{1}{n} \cdot \frac{n-1}{n}) + (\frac{1}{n} \cdot \frac{n-2}{n}) + ... + (\frac{1}{n} \cdot \frac{n-n}{n})$

O,

$\sum_{i=0}^{n-1} \frac{i}{n^2}$

Cómo manejar el hecho de a y B no entregar el mismo número de paquetes?

No estoy seguro de que, para ser honesto. Creo que para grandes valores de a y B, será similar a la anterior, debido a que cada entrega de la B "superar" una fracción de Una similar a como si fueran iguales, pero este se rompe por un número más pequeño.

Cómo manejar el hecho de que a y B se entrega a través de un período de 2 horas, y no sólo el periodo de una hora de intereses? Creo que, debido a que estos son uniformes durante todo el período, se puede cambiar la escala de la probabilidad por $\frac{1}{2}$. Así, veo que la respuesta final sea algo como esto, donde $b$ es el número total de paquetes de camiones B ofrece.

$\frac{1}{2} \cdot \sum_{i=0}^{b-1} \frac{i}{b^2}$

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