¿Por qué es $x^n\approx \left(n(x^{1/4096}-1)+1\right)^{4096}$?

Question

Hay un viejo-escuela calculadora de bolsillo truco para calcular el $x^n$ en una calculadora de bolsillo, donde ambos, $x$ $n$ son números reales. Así, cosas como $\,0.751^{3.2131}$ puede ser calculado, que es impresionante.

Esto proporciona un sinfín de posibilidades, incluyendo el cálculo de las raíces enésimas de un simple calculadora de bolsillo.

El truco es este:

1. Tipo $x$ en la calculadora
2. Tomar la raíz cuadrada de doce veces
3. Restar uno
4. Multiplicar por $n$
5. Agregar uno
6. Elevar el número a la 2ª potencia doce veces (pulse * y = clave once veces)

Ejemplo:

Quiero calcular el $\sqrt[3]{20}$ que es el mismo que $20^{1/3}$. Por lo $x=20$$n=0.3333333$. Después de cada uno de los seis pasos, la pantalla de la calculadora tendrá este aspecto:

1. $\;\;\;20$
2. $\;\;\;1.0007315$
3. $\;\;\;0.0007315$
4. $\;\;\;0.0002438$
5. $\;\;\;1.0002438$
6. $\;\;\;2.7136203$

La respuesta real es de $20^{1/3}\approx2.7144176$. Así, nuestro truco trabajado con tres cifras significativas. No es perfecto, porque de los errores acumulados de la calculadora de 8 dígitos límite, pero es lo suficientemente bueno para la mayoría de las situaciones.

Pregunta:

Así que la pregunta ahora es, ¿por qué hace este truco funcione? Más específicamente, ¿cómo podemos demostrar que: $$x^n\approx \Big(n(x^{1/4096}-1)+1\Big)^{4096}$$

Nota: $4096=2^{12}$.

Me senté en frente de una hoja de papel tratando de manipular la expresión de diferentes maneras, pero no consiguió nada.

También me di cuenta de que si tomamos la raíz cuadrada en el paso 1 más de doce veces, pero en una mejor precisión de la calculadora, y respectivamente cuadrado el número de más de doce veces en el sexto paso, el resultado tiende a ser el valor real que estamos tratando de hacer, es decir:

$$\lim_{a\to\infty}\Big(n(x^{1/2^a}-1)+1\Big)^{(2^a)}=x^n$$

Esto, por supuesto, no quiere decir que haciendo esto más veces se anima en una calculadora de bolsillo, porque el error de la precisión limitada propaga con cada operación. $a=12$ se encontró que el valor óptimo para la mayoría de los cálculos de este tipo, es decir, la mejor respuesta posible tomar todos los errores en consideración. Incluso a pesar de que 12 es el valor óptimo en una calculadora de bolsillo, tomando el límite con $a\to\infty$ puede ser útil en la demostración de por qué este truco funciona, sin embargo todavía no puedo de pensar en una prueba formal de este.

Gracias por su tiempo :)

Answer 1

Fijo $x > 0$ y $n$, que $t = 1/2^a \to 0$. Entonces tenemos que demostrar que \lim{t \to $$ 0} \left (n (x ^ t - 1) + 1 \right)^{1/t} = x ^ n. $$ de hecho, tenemos $$ \ln \left[\lim{t \to 0} \left (n (x ^ t - 1) + 1 \right)^{1/t}\right] = \lim{t \to 0} \frac{\ln (1 + n (x ^ t - 1))} {t} = \lim{t \ a 0} \frac{n (x ^ t - 1)} {t} = n\ln x, $$ donde la primera igualdad sigue de la continuidad de $\ln(x)$ y la segunda igualdad ha utilizado el hecho de que $\ln(1 + x) \sim x$ cuando $x \to 0$.

Answer 2

Un truco estándar es calcular el logaritmo natural para obtener al exponente bajo control:

$$\log(\lim{a\to\infty}(n(x^{1/a}-1)+1)^a)=\lim{a\to\infty}a\log(nx^{1/a}-n+1)$$ Set $u=1/a$. Tenemos $$\lim{u\to 0}\frac{\log (nx^u-n+1)}{u}$ $ L'Hopital de uso: $$\lim{u\to 0}\frac{nx^u\log x}{nx^u-n+1}=n\log x=\log x^n$ $ aquí acaba de conectar $u=0$ para calcular el límite!

Así que el límite original va a $x^n$ como se desee.

Answer 3

Si $x$ (en realidad $\ln x$) es relativamente pequeña, a continuación,$x^{1/4096}=e^{(\ln x)/4096}\approx1+(\ln x)/4096$, en cuyo caso

$$n(x^{1/4096}-1)+1)\approx1+{n\ln x\over4096}$$

Si $n$ también es relativamente pequeño, entonces

$$(n(x^{1/4096}-1)+1)^{4096}\approx\left(1+{n\ln x\over4096}\right)^{4096}\approx e^{n\ln x}=x^n$$

Observación: Cuando llevé a cabo el OP del procedimiento en una calculadora de bolsillo, tengo el mismo aproximación como el OP, $2.7136203$, que es menor que el valor exacto, $20^{1/3}=2.7144176\ldots$. Curiosamente, el valor exacto (según Wolfram Alpha) para la aproximación de la fórmula,

$$\left({1\over3}(20^{1/4096}-1)+1\right)^{4096}=2.7150785662\ldots$$

es más que el valor exacto. Por otro lado, si se toma la raíz cuadrada de $x=20$ once veces en lugar de doce, es decir, si usas $2048$ en lugar de $4096$ -- la calculadora da $2.7152613$, mientras que el WA da $2.715739784\ldots$, ambos de los cuales son demasiado grandes. Muy curiosamente, si el promedio de los dos resultados de la calculadora, se obtiene

$${2.7136203+2.7152613\over2}=2.7144408$$

que está muy cerca del verdadero valor!