No. ¿de soluciones de $f(x)=f'(x)$?

Question

Deje $f:[0,1] \to \Bbb R$ ser un fijo función continua tal que $f$ es diferenciable en a$(0,1)$$f(0)=f(1)$. Entonces la ecuación de $f(x)=f'(x)$ admite

1. No es una solución, $x \in (0,1)$
2. Más de una solución, $x \in (0,1)$
3. Exactamente una solución de $x \in (0,1)$
4. Al menos una solución de $x \in (0,1)$

Como he tratado de tomar $f(x)=0$ $[0,1]$ descartado las opciones 1 y 2, y por el Teorema de Rolle, existe $c\in (0,1)$ tal que $f'(c)=0$. Entonces pensé que para la construcción de la función $g(x)=f(x)-f'(x)$ a comprobar ceros pero estoy atascado porque $f'(x)$ necesita ser continua.

¿Alguien puede dar alguna pista para seguir adelante?

Answer 1

Creo que no se puede garantizar ninguna de las opciones. A continuación se presentan tres posibilidades para $f(x)$ que tienen

1. soluciones de $0$, 2. solución de $1$, 3. $\infty$ soluciones.

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1. $f(x)=4$
2. $f(x)=(x-\frac12)^2$
3. $f(x)=0$

Answer 2

1. No es una solución,$x\in(0,1)$. Sí, esto puede suceder. Considere el polinomio constante $p(x)=5$. Tenemos $p(0)=p(1)=5$ $p(x)\neq p^\prime(x)$ todos los $x\in(0,1)$.

2. Más de una solución,$x\in(0,1)$. Sí, esto puede suceder. Construir una función polinómica $p(x)$, con grado de $8$, cuyas raíces son $r_1=0$, $r_2=r_3=0.25$, $r_4=r_5=0.50$, $r_6=r_7=0.75$ y $r_8=1$. Entonces $p(r_2)=p^\prime(r_2)=0$, $p(r_4)=p^\prime(r_4)=0$ y $p(r_6)=p^\prime(r_6)=0$. Uso de las fórmulas de Vieta.

3. Exactamente una solución de $x\in(0,1)$. Considere la posibilidad de $p(x)=x^2-x$. Tenemos $p(0)=p(1)=0$ $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ raíz de $p(x)=p^\prime(x)$. Como se ha señalado por lisyarus.

4. Al menos una solución de $x\in(0,1)$ . El primer ejemplo dado anteriormente, esta afirmación no es cierta.