Acabo de tener mi primera semana de topología, y tengo una pregunta que es bastante básico.
¿Por qué debe el conjunto vacío es un elemento de cualquier topología?
(Para la referencia, la definición de una topología T con el que estoy trabajando, para un conjunto X:
1. X y el conjunto vacío debe estar en T.
2. la unión de elementos de cualquier subconjunto de T, es también en T.
3. la intersección de los elementos de cualquier finito subcolección en T, es también en T.)
Es más cómodo de esta manera. $\def\less{\smallsetminus}$
Por lo general en matemáticas cuando se tienen las definiciones que involucran el conjunto vacío, la razón por la que hacer es que es más elegante, cómoda, económica frase de las cosas de esta manera.
Supongamos que usted no quiere tratar con el conjunto vacío. Se podría definir la topología de ser una colección no vacía de subconjuntos de X que satisfacen un par de axiomas. Pero, a continuación, sus axiomas, tendría que ser mas complicado y se incluyen casos especiales.
Usted tendría que decir que sólo un vacío intersección finita de abiertos es abierta. Se puede modificar la 3ª axioma decir que. Pero la razón por la que necesita ese axioma, en primer lugar, es que muy frecuentemente en las pruebas de tomar un par de bloques abiertos, y se basan en el hecho de que su intersección es todavía abierto (y por lo tanto tiene algunas de las cualidades útiles para usted). En la nueva versión, cada vez que usted necesita para intersecar dos bloques abiertos en una prueba, usted tendría que hacer una lista de dos casos: a) si son disjuntos, entonces su intersección es vacía y por lo tanto (...) b) si no son disjuntos, entonces su intersección es abierto y por lo tanto... Sus pruebas sería más larga y tediosa.
Del mismo modo, normalmente se define un subconjunto $Y$ $X$ a ser cerrado si $X \less Y$ está abierto. A continuación, en virtud de la definición habitual de todo el espacio $X$ es un conjunto cerrado. Hay muchas razones por las que quieres que sea el caso y por qué que corresponde a la intuición de "conjunto cerrado". Pero si no se tiene en cuenta el conjunto vacío para ser abierto por definición, no se obtienen $X$ a ser cerrado. De nuevo, usted puede arreglarlo mediante la modificación de la definición de conjunto cerrado: "Un subconjunto $Y$ $X$ es cerrado si $Y=X$ o $Y$ es el complemento de un conjunto abierto". Esto va a funcionar. Pero, de nuevo, las pruebas se hará más complicada: cuando se tiene un conjunto cerrado $Y$ acerca de que usted sabe poco, usted no puede simplemente asumir que $X \less Y$ es abrir y trabajar con eso, ahora usted tiene que considerar dos casos.
Estos son sólo dos ejemplos, pero hay más. Básicamente, resulta que al tiempo que el conjunto vacío abierto por definición, no puede mirar a priori muy natural, que hace todo tipo de objetos y propiedades ", haga clic en conjunto," de la forma más natural y económica que de otra manera.
Una de las razones es el conjunto vacío está abierto es debido a un vacío de la verdad, que es una razón que nada tiene que ver con la topología en absoluto, sino más bien la lógica.
La implicación $p \implies q$ siempre es verdadera si la declaración de $p$ es falso (independientemente de la declaración de $q$ -- declaración de $q$ puede ser cualquiera al azar de la declaración). Esto se llama vacío de la verdad.
Ahora, una definición o caracterización de la apertura es que el $A \subseteq X$ es abierto si para cada una de las $x \in A$, podemos encontrar una abierta vecindario $U$$x \in U$$U \subseteq A$.
En otras palabras, $A \subseteq X$ es abierto si para cada a $x$, la declaración de $$x \in A \implies \exists U \text{ open with } x \in U \subseteq A $$ es cierto.
Vamos a ver el valor de verdad de esta declaración si $A = \emptyset$. Para $\emptyset$ a de ser abierto, tenemos para todos los $x$ que la siguiente afirmación es verdadera: $$x \in \emptyset \implies \exists U \text{ open with } x\in U \subseteq \emptyset $$
Ahora, para cada $x$, la instrucción "if" en la implicación de arriba, que es la declaración de $x \in \emptyset$, es siempre falsa. No hay absolutamente ninguna $x$ satisfacción $x \in \emptyset$, lo $x \in \emptyset$ es falso. Pero si $p$ es falso, entonces para cualquier declaración $q$, $p \implies q$ es cierto (esto es vacuo verdad). Por lo tanto para cada $x$, por encima de la implicación que tiene, por tanto, por definición de abrir, $\emptyset$ está abierto.
Por lo tanto, en resumen, el conjunto vacío $\emptyset$ es abierto porque satisface la definición de ser abierto. Pero satisface esta definición vacuously.
Así que, en definitiva, una razón por la $\emptyset$ está abierto no tiene nada que ver con topología en todo, pero con la lógica y la razón por la que tomamos la declaración de $p \implies q$ a de ser cierto, no importa lo que la declaración de $q$ es tan larga como la declaración de $p$ es falso.
(Extra no topológico-ejemplo de un vacío de la verdad: "Si $1 + 2 = 20$, $5 = 16$" es una declaración verdadera (vacuously) desde el "si" es falsa.)
Tenga en cuenta que el hecho de que $X$ $\emptyset$ están abiertos puede ser visto como una consecuencia de las otras dos axiomas si uno permite que el vacío de la intersección y el vacío de la unión, donde $X$ es el vacío de la intersección (es decir, la intersección sobre el vacío de la familia) y $\emptyset$ es el vacío de la unión (es decir, la unión sobre el vacío de la familia) .
Viendo las cosas de esta manera no sólo es útil en este aspecto. Por ejemplo, cada colección de subconjuntos de un conjunto dado es un subbasis para algunos topología (en el sentido de que las uniones finitas de intersecciones es una topología) si tomamos este enfoque, en lugar de tener que exigir que la colección cubre el espacio.
Dos conceptos importantes en la topología son el interior y cierre de un conjunto $A\subseteq X$. (Interior es el mayor subconjunto abierto, cierre es el más pequeño cerrado super-set). Si $\emptyset$ no estarían dispuestos, a continuación, los interiores y los cierres de ser indefinido en general. En efecto, si el espacio de $X$ no está cerrado (en sí mismo), lo que sería el cierre de la $\overline{X}$?
Topológico abrir conjuntos de abstracciones de abrir conjuntos en espacios métricos. Recordar, un conjunto abierto en un espacio métrico $(X,d)$ es un conjunto $U$ tal que para todos los $u\in U$ existe un abierto barrio de $u$$U$.
Es el "para todos" en la definición que nos obliga a incluir el conjunto vacío. Esto es debido a que el medio excluido en la lógica matemática, es decir, un enunciado es verdadero o falso. Si el conjunto vacío no es un conjunto abierto significa que existe un elemento en el conjunto vacío que sirve como un contra-ejemplo a la definición. Dado que no existen elementos en el conjunto vacío, todos los elementos tienen la propiedad de un conjunto abierto.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
