El cuadrado de un primo que divide la suma de una secuencia geométrica

Question

Para qué$p$ primos existen dos enteros positivos$(a,b)$, tales que$$\dfrac{1-a^p}{1-a}=bp^2?$ $

Esto es de una olimpiada juvenil de Británicos, pero no puedo resolverlo. ¡Por favor ayuda!

Answer 1

Considere en su lugar $\frac{(a+1)^p-1}{a}-bp^2=a^{p-1}+\binom{p}{p-1}a^{p-2}+\cdots+\binom{p}{1}-bp^2$. Ahora aplicar el Criterio de Eisenstein con el primer $p=p$. $p$ no dividen $1$ enfrente de la de $a^{p-1}$. Cada coeficiente binomial es divisible por $p$ (en particular a partir de $p$ es primo). Finalmente, $p-bp^2$ es divisible por $p$, pero no por $p^2$. Por lo que el polinomio es irreducible sobre los racionales en $a$. No hay ningún tipo de $(a,b)$$p>2$.

Edición: Mike con razón señala que el grado de un caso es especial. En este caso si $p=2$, entonces el polinomio se convierte en $a+2-4b=0$, que tiene soluciones de $a=2(2b-1)$, por ejemplo, $a=2,b=1$ o en la notación original de $(a=3,b=1 de dólares).