Una superficie intrínsecamente curva sin curvatura extrínseca

Question

La curvatura intrínseca es la propiedad de un colector. Muestra su desviación de la geometría euclidiana. La curvatura extrínseca, por otro lado, depende de cómo la superficie está incrustada en una variedad de mayor dimensión. Ahora bien, como estudiante principiante, dondequiera que he visto ejemplos de la diferencia entre estas dos, siempre me llevan al ejemplo de un cilindro. No tiene curvatura intrínseca, pero mirándolo desde R3 sí tiene una curvatura extrínseca.

Mi pregunta es : ¿Es lo contrario? ¿Puedo tener una superficie sin curvatura extrínseca (debido a mi incrustación "inteligente") pero que sea intrínsecamente curva? Si es así, ¿cuál sería un ejemplo sencillo?

Answer 1

Aclaremos primero la terminología y el escenario. Supongamos que tenemos un submanifold incrustado $S$ (por ejemplo, una superficie) en una variedad riemanniana $M$ (por ejemplo, el espacio 3 euclidiano).

Asumo que por la curvatura intrínseca de $S$ se refiere a la Curvatura gaussiana de una superficie. En el caso de las variedades de mayor dimensión, esto se generaliza a la curvatura de la sección pero esto es un poco más complicado: asigna un número a cada subespacio bidimensional del espacio tangente, es decir, la curvatura gaussiana del submanifold (superficie) tangente a ese plano.

"Curvatura extrínseca" podría significar varias cosas, pero para una hipersuperficie (por ejemplo, una superficie incrustada $S$ en el espacio euclidiano 3), podríamos resumir diciendo que una curvatura extrínseca es una cantidad definida por la segunda forma fundamental o, de forma equivalente, su asociado operador de forma $B$ . Si no sabes qué son estas cosas, no pasa nada, puedes seguir leyendo. Piensa en el operador de forma como una matriz simétrica que depende de $p \in S$ . Las principales "curvaturas extrínsecas" que vale la pena considerar son:

• Los valores propios de $B$ , llamado curvaturas principales . Obsérvese que son iguales a la curvatura de las curvas situadas en $S$ , visto como curvas en $M$ .
• El rastro de $B$ (tal vez dividido por la dimensión), llamado curvatura media , igual a la suma (o media) de las curvaturas principales.

Para una superficie en una variedad tridimensional, la ecuación de Gauss dice que $$ \det B = K_S - K_M$$ donde $K_S$ es la curvatura de Gauss de $S$ y $K_M$ es la curvatura de la sección en $M$ del plano tangente a $S$ . Esta ecuación es probablemente una de las cosas que buscas para responder a tu pregunta: te dice la relación entre la segunda forma fundamental (que define las "curvaturas extrínsecas"), la curvatura intrínseca de $S$ y la curvatura intrínseca de $M$ .

Ahora vamos a responder a tu pregunta con más precisión. Como se puede deducir de la ecuación de Gauss, si todo las curvaturas extrínsecas son cero, es decir $B$ se desvanece (para su información, en este caso se dice que $S$ es un submanifold totalmente geodésico ), entonces la curvatura intrínseca de $S$ es igual a la curvatura intrínseca de $M$ . En particular, si $M$ tiene curvatura cero (es decir, el espacio euclidiano 3), entonces un submanifold para el que todas las curvaturas extrínsecas son cero también tiene curvatura intrínseca cero.

Dicho esto, si por "la curvatura extrínseca" sólo entendemos la curvatura media $\mathrm{tr}(B)$ Sólo buscamos superficies con curvatura media cero, estas cosas se llaman superficies mínimas . Ahora la pregunta es: ¿existen superficies mínimas que no sean totalmente geodésicas (básicamente, superficies mínimas que no sean planos en el espacio euclidiano 3)? Puedes adivinar que la respuesta es probablemente "sí, hay muchas", porque eso es más o menos preguntar si hay algunas matrices simétricas $B$ cuya traza es cero, pero no son la matriz cero. De hecho, el "teorema fundamental de la teoría de superficies" garantiza básicamente que hay muchos ejemplos. Podrás ver ejemplos buscando imágenes de "superficie mínima" en la web.

He intentado dar una respuesta completa y detallada, espero que te haya servido, pero si buscas la respuesta corta: sí, cualquier superficie mínima en el espacio euclidiano 3 que no sea un plano tiene curvatura media nula pero curvatura gaussiana no nula. Por ejemplo, la catenoide :