Encuentre la probabilidad de que la bola blanca etiquetada$1$ se dibuje antes de todas las bolas negras.

Question

Supongamos que en una urna hay $20$ bolas negras etiquetados $1,2, \ldots , 20$ $10$ bolas blancas etiquetados $1,2, \ldots ,10$. Las pelotas son atraídos uno por uno sin reemplazo. Encontrar la probabilidad de que la bola blanca etiquetados $1$ es tomada antes de que todas las bolas negras.

Mi intento de $:$

Si queremos dibujar la primera bola blanca antes de que todas las bolas negras, me tengo que dibujar la primera bola blanca en uno de los primeros a $10$ pasos.

Supongamos que dibujar la primera bola blanca en $k$-ésimo paso. A continuación, en orden a cumplir con mi requisito tengo que sacar bolas blancas en la primera $k-1$ pasos. Que se puede hacer en $\binom 9 {k-1} (k-1)!$ maneras. Para cada una de estas formas restante $30-k$ bolas puede ser dibujado en $(30-k)!$ maneras. Esta $k$ puede ejecutar desde $1$$10$.

Por lo que el número total de maneras de dibujar la primera bola blanca antes de que todas las bolas negras es $$\sum\limits_{k=1}^{10} \binom 9 {k-1}(k-1)! (30-k)!$$ So the required probability is $$\frac1{30!}{\sum\limits_{k=1}^{10} \binom 9 {k-1}(k-1)! (30-k)!} =\sum\limits_{k=1}^{10} {\frac {9!(30-k)!} {30!(10-k)!}}$$

Ahora mi instructor ha dado la respuesta de que es $\frac {1} {21}$. Significa lo anterior suma evaluar a $\frac {1} {21}$? ¿Hay alguna otra manera más simple de hacer esto? Por favor me ayude en este sentido. Muchas gracias.

Answer 1

La pregunta es, bastante mal planteada. "La primera bola blanca" suena como si se refiere a la primera bola blanca dibujada, pero al parecer la intención de referirse a la bola blanca con el número de $1$.

Hay de hecho una manera mucho más sencilla de mostrar que la probabilidad de sacar la bola blanca con el número de $1$ antes de que todas las bolas negras es $\frac1{21}$. Considere la posibilidad de la $21$ bolas que comprende la bola blanca con el número de $1$ e las $20$ bolas negras. Todos los pedidos de estos $21$ bolas son igualmente probables; en particular, la bola blanca con el número de $1$ tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de las $21$ posiciones en este orden. Por lo tanto la probabilidad para cada uno de los cargos, incluido el de la primera posición, es $\frac1{21}$.

Sobre cómo evaluar su suma, ver el hockey stick de identidad.

Answer 2

Para evaluar $\sum_{k=1}^{10}\frac{9!}{30!}\frac{(30-k)!}{(10-k)!}$:

\begin{align} \sum_{k=1}^{10}\frac{9!}{30!}\frac{(30-k)!}{(10-k)!}&=\frac{9!\cdot 20!}{30!}\sum_{k=1}^{10}\frac{(30-k)!}{20!(10-k)!} \\ &=\frac{9!\cdot 20!}{30!}\sum_{k=1}^{10}\binom{30-k}{20} \\ &=\frac{9!\cdot 20!}{30!}\left[\binom{20}{20}+\binom{21}{20}+\binom{22}{20}+\binom{23}{20}+\ldots+\binom{29}{20}\right] \\ &=\frac{9!\cdot 20!}{30!}\left[\binom{21}{21}+\binom{21}{20}+\binom{22}{20}+\binom{23}{20}+\ldots+\binom{29}{20}\right] \\ &=\frac{9!\cdot 20!}{30!}\left[\binom{22}{21}+\binom{22}{20}+\binom{23}{20}+\ldots+\binom{29}{20}\right] \\ &=\frac{9!\cdot 20!}{30!}\left[\binom{23}{21}+\binom{23}{20}+\ldots+\binom{29}{20}\right] \\ &=\cdots \\ &=\frac{9!\cdot 20!}{30!}\binom{30}{21} \\ &=\frac{9!\cdot 20!}{30!}\frac{30!}{21!\cdot 9!} \\ &=\frac{1}{21} \end{align}

Al manejar la suma, se usan las relaciones$\binom{n}{n}=\binom{n+1}{n+1}$ y$\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}$.

Answer 3

Su expresión$\sum_{k=1}^{10}\frac{9!(30-k)!}{30!(10-k)!}$ se puede volver a escribir como$\frac{9!20!}{30!}\sum_{k=1}^{10}\binom{30-k}{20}$. Ahora$\binom{30-k}{20}$ es la cantidad de formas de elegir$21$ números de$\{1,\ldots,30\}$; el primero es$k$ (porque los números$20$ restantes deben elegirse del$30-k$ números después de$k$), por lo que sumar esto sobre todos los valores posibles del primer número elegido (que debe estar en el rango 1-10) da todas las formas de elegir$21$ números de$30$. Por lo tanto,$\sum_{k=1}^{10}\binom{30-k}{20}=\binom{30}{21}=\frac{30!}{9!21!}$, y entonces la expresión completa se convierte en$\frac{9!20!}{30!}\times\frac{30!}{9!21!}=\frac{1}{21}$.