Mapa $f:S^2 \to S^1$ con $f(-x) = -f(x)$

Question

Consideremos una función continua $f:S^2 \to S^1$ con $f(-x) = -f(x)$ para todos $x \in S^2$ . Pretendo demostrar que dicho mapa no existe utilizando la teoría topológica de recubrimiento/levantamiento.

Aquí mis intentos: Si asumimos que dicha función $f$ existe entonces ya que $S^2$ simplemente conectado y $\mathbb{R}$ es una cobertura de $S^1$ existe un mapa de elevación $g: S^2 \to \mathbb{R}$ con propiedad $f = p \circ g$ . Aquí $p: \mathbb{R} \to S^1$ es el mapa de cobertura canónico.

Entonces traté de considerar un camino $\gamma:[0,1] \to S^2$ con propiedad $\gamma(0)= -\gamma(1)$ Por lo tanto $\gamma(0), \gamma(1)$ son antípodas.

Y por lo tanto (por propiedad de $f$ ) también tiene $f(\gamma(0)) = f(-\gamma(1)) = -f(\gamma(1))$ .

Supongo que teniendo en cuenta esta propiedad se puede deducir una contradicción considerando una elevación $\widetilde{\omega}:[0,1] \to \mathbb{R}$ del camino $\omega:= f \circ \gamma$ .

¿Puede alguien explicar qué es lo que falla aquí/ cómo se consigue la contradicción deseada? Intuitivamente supongo que algo va mal con la unicidad del levantamiento (véase el puntal de levantamiento de la homotopía)... pero no encuentro este último paso.

Otro intento mío sería cosiderar el nuevo camino $\omega^2$ que obviamente es un bucle. ¿Puedo obtener una contradicción al considerar el ascensor de la misma? ¿Debería el ascensor ser también un bucle? ¿Por qué?

Observación: Como en un comentario que se dice más abajo este problema es un caso especial de Borsum Ulam y puede ser demostrado rigurosamente usando métodos homológicos. La intención de esta pregunta es cómo demostrar la afirmación para $n=2$ con caja de herramientas de propiedades elementales de elevación / teoría de cobertura.

Answer 1

Supongamos que existe un mapa $f$ como en su pregunta.

Consideramos que $S^1$ como el ecuador de $S^2$ . Entonces $g = f \mid_{S^1} : S^1 \to S^1$ no es esencial porque se extiende a $D^2$ (identificado con el hemisferio superior de $S^2$ ). Tenemos $g(-z) = -g(z)$ . Sea $p : \mathbb{R} \to S^1, p(t) = e^{it}$ denotan el mapa de cobertura estándar.

Desde $g$ no es esencial, se eleva a $\tilde{g} : S^1 \to \mathbb{R}$ . Definir $h(z) = \tilde{g}(z) - \tilde{g}(-z)$ . Entonces $$e^{ih(z)} = e^{i\tilde{g}(z) - i\tilde{g}(-z)} = e^{i\tilde{g}(z)}/e^{i\tilde{g}(-z)} = g(z)/g(-z) = -1 .$$ Por lo tanto, $h(z) \in \{ (2k+1)\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$ . Porque $h$ es continua, vemos que $h(z)$ es constante con valor $(2k+1)\pi$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $\tilde{g}(z) = \tilde{g}(-z) + (2k+1)\pi$ para todos $z$ . Pero entonces

$$\tilde{g}(z) = \tilde{g}(-z) + (2k+1)\pi = \tilde{g}(z) + (2k+1)\pi + (2k+1)\pi$$

lo que implica $k = -1/2$ lo cual es absurdo.