Resolver

Question

Resuelve la ecuación diferencial$$(x+y \log y)y \,\mathrm{d}x=(y+x \log x)x \,\mathrm{d}y$ $

Mi intento: poner$x=e^t$ y$y =e^w$: obtenemos

$$ (e ^ t + we ^ w) e ^ we ^ t \, \ mathrm {d} t = (e ^ w + te ^ t) e ^ we ^ t \, \ mathrm {d} w \ implica ( e ^ t + we ^ w) \, \ mathrm {d} t = (e ^ w + te ^ t) \, \ mathrm {d} w $$

Alguna pista aqui?

Answer 1

Tenemos la siguiente ecuación diferencial:

$$(x+y \log y)y \,\mathrm{d}x=(y+x \log x)x \,\mathrm{d}y$$

Reordenando los términos, obtenemos:

$$\implies xy\mathrm{d}x+y^{2}\log(y)\mathrm{d}x=xy\mathrm{d}y+x^{2}\log(x)\mathrm{d}y$$ $$\implies-x^{2}\log(x)\mathrm{d}y+xy\mathrm{d}x=-y^{2}\log(y)\mathrm{d}x+xy\mathrm{d}y$$ $$\implies x(-x\log(x)\mathrm{d}y+y\mathrm{d}x)=y(-y\log(y)\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y)$$

Dividir ambos lados por el plazo $x^{2}y^{2}$, obtenemos:

$$\implies \frac{(-x\log(x)\mathrm{d}y+y\mathrm{d}x)}{xy^2}=\frac{(-y\log(y)\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y)}{x^{2}y}$$ $$\implies \left(-\frac{1}{y^2}\mathrm{d}y\right)\log(x)+\left(\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right)\frac{1}{y}=\left(-\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x\right)\log(y)+\left(\frac{1}{y}\mathrm{d}y\right)\frac{1}{x}$$ $$\implies \mathrm{d}\left(\frac{1}{y}\right)\log(x)+\mathrm{d}\left(\log(x)\right)\frac{1}{y}=\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)\log(y)+\mathrm{d}\left(\log(y)\right)\frac{1}{x}$$ $$\implies \mathrm{d}\left(\frac{1}{y}\log(x)\right)=\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\log(y)\right)$$

La integración de ambos lados, obtenemos:

$$\implies \int \mathrm{d}\left(\frac{1}{y}\log(x)\right)=\int \mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\log(y)\right)$$

Tenemos la solución: $$\color{darkblue}{\frac{1}{y}\log(x)=\frac{1}{x}\log(y)+C}$$

Donde $C$ es la constante de integración. Esta es la solución implícita.

Edit: Como se muestra por @Claude Leibovici, la solución puede ser convertida a una explícita el uso de Lambert $W$ función. La solución es la siguiente:

Reordenando la ecuación anterior, obtenemos:

$$\implies \frac{x}{y}\log(x)=\log(y)+Cx$$

Tomando exponencial de ambos lados, tenemos:

$$\implies \exp\left({\frac{x}{y}\log(x)}\right)=\exp\left(\log(y)\right)\exp\left(Cx\right)$$

$$\implies \exp\left({\frac{x}{y}\log(x)}\right)=y\exp\left(Cx\right)$$

Multiplicando ambos lados por $\frac{x}{y}\log(x)$, tenemos:

$$\implies \frac{x}{y}\log(x)\exp\left({\frac{x}{y}\log(x)}\right)=x\exp\left(Cx\right)\log(x)$$

Si tenemos en cuenta $\frac{x}{y}\log(x)$$u$, la ecuación anterior se reduce a $ue^u=K$ y puede ser representado por Lambert $W$ función como $u=W(K)$, por lo tanto tenemos:

$$\implies \frac{x}{y}\log(x)=W\left(x\exp\left(Cx\right)\log(x)\right)$$ $$\implies \color{darkgreen}{y=\frac{x \log (x)}{W\left(x e^{Cx} \log (x)\right)}}$$

donde $W(.)$ es de Lambert función. Esta es la solución explícita.