¿Existe algo como "ecuaciones diferenciales totales"?

Question

Como es bien sabido, la teoría de ecuaciones en derivadas parciales es mucho más difícil que la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, porque las EDP no se comportan tan bien.

Estaba pensando, sin embargo, que la generalización de las derivadas regulares al caso de mayor dimensionalidad se suele pensar mejor como la derivada total (es decir, de Frechet), en lugar de las derivadas parciales.

Pregunta: ¿Existe una teoría de ecuaciones diferenciales totales? Si no, ¿por qué no? Y si es así, ¿la teoría permite sortear muchos de los problemas que surgen en la teoría de las EDP?

El principal problema que podría pensar es la "comprobación de tipos"; es decir, la función original será un campo tensorial de primer orden, la primera derivada sería un campo tensorial de segundo orden, la segunda derivada sería un campo tensorial de tercer orden, y así sucesivamente... ¿No hay una forma de evitar este problema?

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Nota: Para que todos estén claros, no estoy argumentando en contra de la utilidad de la teoría de las EDP; al contrario, incluso fueron utilizadas por Perelman para demostrar la Conjetura de Poincaré. Solo me pregunto, si las ecuaciones diferenciales totales serían más fáciles de estudiar, ¿por qué nadie las ha estudiado?

La existencia de derivadas parciales es solo necesaria pero no suficiente para la existencia de la derivada total. Entonces mi conjetura es que resolver las EDPs restringidas al espacio de soluciones de ecuaciones diferenciales totales sería mucho más fácil y tendría que tener en cuenta muchos menos casos patológicos, ya que la existencia de la derivada total implica propiedades de regularidad mucho más que asumiendo la existencia de las derivadas parciales solas. (De hecho, la existencia de derivadas parciales ni siquiera implica la existencia de todas las derivadas direccionales, lo que a su vez ni siquiera implica diferenciabilidad Gateaux, lo que a su vez ni siquiera implica diferenciabilidad total, por lo que se debería esperar que la teoría general de las EDPs tenga muchos más casos patológicos que la teoría específica de las ecuaciones diferenciales totales.)

En otras palabras, parece que estudiar ecuaciones diferenciales totales podría hacer más fácil identificar qué clases de EDP son fáciles de resolver y ayudar a explicar en parte por qué algunas EDPs son más difíciles de resolver, ya que haría mucho más explícito cómo se rompen las analogías con las EDOs en esos casos. Entonces, aunque las ecuaciones diferenciales totales serían alegadamente un subcaso del campo de las EDPs, las propiedades de regularidad adicionales seguirían haciéndolas un objeto de estudio válido, de la misma manera que el estudio de matrices simétricas o diagonalizables ilumina todo el ámbito del álgebra lineal.

Answer 1

Su noción de "ecuación diferencial total" es lo que los matemáticos llaman una "solución clásica" de una ecuación diferencial parcial. Una solución clásica de una ecuación diferencial de orden k es una función k veces continuamente diferenciable (por lo tanto, k veces diferenciable de Frechet) que satisface la EDP.

Para algunas EDP (por ejemplo, ecuaciones elípticas lineales uniformemente), podemos demostrar que las soluciones clásicas existen y son únicas, y muchas preguntas importantes han sido respondidas.

Desafortunadamente, para muchas EDP muy importantes, las soluciones clásicas simplemente no existen (por ejemplo, ecuaciones de Hamilton-Jacobi, ecuaciones elípticas degeneradas, leyes de conservación, por nombrar algunas). Es decir, puedes demostrar que no hay funciones k veces continuamente diferenciables que satisfagan la EDP. Sin embargo, estas EDP son muy importantes y deberían tener soluciones en algún sentido.

Por lo tanto, la naturaleza del problema nos obliga a considerar nociones más débiles de solución (entropía, viscosidad, distribucional, etc.). Estas son nociones que permiten que funciones que no son k veces continuamente diferenciables resuelvan la EDP en algún sentido. El punto es que esto no es una elección; nos lo impone la naturaleza de ciertas EDP. De hecho, algunos dirían que esto es lo que hace interesante estudiar las EDP.