Evaluar $\int \frac{a^2\sin^2 x+b^2\cos^2 x}{a^4\sin^2 x+b^4\cos^2 x}dx$

Question

Evaluar

$$\int \frac{a^2\sin^2 x+b^2\cos^2 x}{a^4\sin^2 x+b^4\cos^2 x}\text dx$$

Yo hubiera dado mi intento a esta pregunta, pero honestamente, creo que mis intentos para resolver este no hizo nada, pero sólo complican más.

Consejos o sugerencias son bienvenidos.Por favor, compruebe que su método da respuesta:$$\frac 1{a^2+b^2}(x+\tan^{-1} ({\frac {a^2\tan x}{b^2}}))+C$$

Answer 1

Sugerencia:

Tenemos $$I = \int \frac{a^2\sin^2 x + b^2\cos^2 x}{a^4\sin^2 x + b^4\cos^2 x}\, dx = \int \frac{[a^2-b^2]\sin^2 x + b^2}{[a^4-b^4]\sin^2 x + b^4}\, dx $$ $$= (b^2-\frac{(a^2-b^2)b^4}{a^4-b^4})\int \frac{1}{(a^4-b^4)\sin^2 x + b^4}\, dx + \int \frac{a^2-b^2}{a^4-b^4} \, dx$$

La primera integral se puede calcular fácilmente mediante el uso de una sustitución de $u = \tan x$.

Answer 2

Escribir $$\frac{a^2\sin^2 x+b^2\cos^2 x}{a^4\sin^2 x+b^4\cos^2 x}=\frac1{a^2+b^2}\cdot \frac{(a^4+a^2b^2)\sin^2 x+(b^4+a^2b^2)\cos^2 x}{a^4\sin^2 x+b^4\cos^2 x}\\=\frac1{a^2+b^2}\cdot \frac{a^4\sin^2 x+b^4\cos^2 x+a^2b^2}{a^4\sin^2 x+b^4\cos^2 x}=\frac1{a^2+b^2}\cdot \left(1+\frac{a^2b^2}{a^4\sin^2 x+b^4\cos^2 x}\right)\\=\frac1{a^2+b^2}\cdot\left(1+\frac{\frac{a^2}{\cos^2x}}{\frac{a^4}{b^2}\tan^2x+b^2}\right)=\frac1{a^2+b^2}\cdot\left(1+\frac{\frac{a^2}{\cos^2x}}{\frac{a^4}{b^2}\tan^2x+b^2}\right)$$ Now $$\frac{a^2\sec^2x}{b^2\left(1+\frac{a^4}{b^4}\tan^2x\right)}={\tan^{-1}}'\left(\frac{a^2\tan x}{b^2}\right)$$ and integrating $1$ give $x$. La combinación de los dos con una constante de los rendimientos de respuesta.