Encontrar una base para el rango y el núcleo de $T$ .
$$A =\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 4 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Intento de resolver la base del rango:
Al encontrar la base del rango, sé que el rango es lo mismo que el espacio de columna. Por lo tanto, encontrar la base del espacio de columnas debería ser equivalente a encontrar la base del rango. Obtuve lo siguiente después de reducir:
$$\mathrm{Rref}(A) =\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac 12\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Porque sólo tengo un pivote en la columna $1$ mi columna correspondiente en el original $A$ (por lo tanto mi base para el rango), sería:
$$\mathrm{Rref}(A) =\begin{bmatrix} 2\\ 4\\ 0 \end{bmatrix} $$
La solución dada en el texto dice que en realidad debería ser así:
$$\mathrm{Rref}(A) =\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{bmatrix}$$
Veo que la solución del libro sólo difiere de la mía en que su solución parece haber sido dividida por $2$ . Sin embargo, mi pregunta es: ¿por qué dividen por 2? No entiendo por qué se altera la columna original.
Intento de resolver la base del núcleo:
Al resolver para el núcleo, sé que la base del núcleo debe ser la misma que la base para el espacio nulo. A partir de la $\mathrm{Rref}(A)$ anterior, obtuve la siguiente ecuación: $(X_1) = (\frac12X_3)$ . Dejar $X_3$ igual uno, obtuve la siguiente matriz para la base del núcleo:
$$\text{Basis of Kernel} =\begin{bmatrix} \frac12\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$$
Esta respuesta coincide con mi solución en el texto, pero el texto también proporciona la siguiente solución: = \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}
Supongo que esto viene de la fila cero en mi $\mathrm{Rref}(A)$ . Pero, ¿por qué se hace esto? Pensaba que el número de bases procedía del número de variables independientes en el $\mathrm{Rref}(A)$ ...
