Determinar si la siguiente serie converge:

Question

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^3}-i} $$

He determinado que la serie diverge, porque es menos del $\frac{1}{n}$ (supuse que $i$ no tiene ninguna influencia aquí) y $\frac{1}{n}$ diverge, por lo tanto, por la prueba de Comparación, dado que la serie diverge. Pero no estoy seguro acerca de esto. Estoy correctamente suponiendo que el número imaginario no tiene ninguna influencia en este caso?

Answer 1

En primer lugar, esta es una serie de números complejos por lo que si debemos ser absolutamente preciso, entonces deberíamos decir que el módulo de la $n$ésimo término de la serie es de menos de $\frac{1}{n}$.

En segundo lugar, y más importante aún, no es posible concluir que la serie es divergente si es (término a término) menos de una divergente la serie (incluso si estamos hablando de series con términos positivos). El uso de la prueba de comparación de la divergencia, usted necesita saber que la serie es (término a término) más de una divergente la serie. (Por ejemplo, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge aunque es (término a término) menos de la divergencia de la serie de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$.)

Sin embargo, debo añadir que la serie no difieren. De hecho, el $n$ésimo término de la serie es $\approx$ $\frac{1}{n}$ en el módulo si $n$ es lo suficientemente grande (este se me hizo preciso) y la serie armónica diverge.

Espero que esto ayude!

Answer 2

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^3}-i}$$ escriba el término como: $$\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n^3}+i)}{\sqrt{n^3}-i(\sqrt{n^3}+i)}=\frac{n^2+\sqrt{n}i}{{n^3}+1}$$
ahora como n es grande, se obtiene:$$\frac{n^2+\sqrt{n}i}{{n^3}+1}\approx\frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}$$ que diverge