Trabajar con subconjuntos, en contraposición a los elementos.

Question

Especialmente en contextos algebraicos, a menudo podemos trabajar con subconjuntos, en contraposición a los elementos. Por ejemplo, en un anillo que podemos definir

$$A+B = \{a+b\mid a \in A, b \in B\},\quad -A = \{-a\mid a \in A\}$$

$$AB = \{ab\mid a \in A, b \in B\}$$

y bajo estas definiciones, los únicos funcionan exactamente igual que los elementos. Por ejemplo, $\{a\}+\{b\} = \{c\}$ fib $a+b=c$.

Ahora supongamos que estamos trabajando en un anillo de pedida. Lo que debe $A \leq B$ significa? Puedo pensar en al menos dos posibles definiciones.

1. Para todos los $a \in A$ $b \in B$ sostiene que $a \leq b$.

2. Existe $a \in A$ $b \in B$ tal que $a \leq b$.

   También, una tercera definición, se sugirió que en los comentarios:

3. Para todos los $a \in A$ existe $b \in B$ tal que $a \leq b$.

Tenga en cuenta que de acuerdo a las tres definiciones, tenemos $\{a\} \leq \{b\}$ fib $a \leq b$. Eso es porque "para todos los $x \in X$" y "no existe $x \in X$" significa la misma cosa siempre $X$ es un singleton conjunto.

¿Cuál es la cosa más natural que hacer aquí? (1), (2), o algo completamente distinto?

Tenga en cuenta que nuestras definiciones anteriores aprovechado la existencia. Por ejemplo: $$A+B = \{x\mid \exists a \in A, b \in B : a+b=x\}.$$

Answer 1

Esta pregunta es totalmente subjetiva. "debe" y "natural" significa diferentes cosas para diferentes personas. Cuando nos movemos hacia la generalidad, podemos obtener una textura adicional y detalles que antes no teníamos. Ideal números (es decir, los ideales) tienen propiedades que los números ordinarios (es decir, el anillo de los elementos) no. El "derecho" de la definición es la que nos permite demostrar algo interesante. En ausencia de cualquier contexto, todas las anteriores son correctas, y todas las anteriores son incorrectas.

(1) trata de los conjuntos de intervalos. $A\le B$ si $\sup A \le \inf B$. Esto conduce a un orden parcial en lugar de un orden total. Tal vez esto es lo que quieres, ya que después de todo este contexto es más general. Para que no se solapan conjuntos, este parece bien, pero por la superposición de conjuntos es bastante conservador.

(2) es una extraña variación de (1). $A\le B$ si $\inf A < \sup B$ o $\min A = \max B$ (siempre que ambos existen). Para la superposición de conjuntos, esto significa que tanto $A\le B$ $B\le A$ poseen, por lo que la relación falla antisymmetry, lo cual es extraño.

(3) se trata de conjuntos de puntos, es decir, su suprema. $A\le B$ si $\sup A \le \sup B$. Esto tiene la ventaja de ser un orden total, en los conjuntos que están delimitadas por encima.

(4) Yiorgos la sugerencia es considerar la estructura interna de los conjuntos; es decir, descomponer establece como sumsets. Esto se ve en completamente diferentes propiedades de los conjuntos.

(5) se suele usar para el fin de conjuntos, no se ha mencionado previamente, es la inclusión. Es decir, $A\le B$ si $A\subseteq B$. Esta es una especialización de Yiorgos' orden, ya que puede tomar $C=\{0\}$.

Sin embargo, hay un bazillion otros ordenamientos que nos pueden imponer. Por ejemplo:

(6) Elegir un primer $p$ en su anillo, y definir $A\le B$ si $\nu_p(\prod A)\le \nu_p(\prod B)$ donde $\nu_p$ indica el $p$-ádico de valoración, la ampliación de la definición de infinito productos de alguna manera.

Ninguno de estos valen nada en el aislamiento, y cualquiera de ellos podría ser el más importante de orden parcial en el mundo si pueden resolver el problema en el que estás trabajando.

Answer 2

Sugerencia:

$$ Un\le B \quad\text{si}\quad \text{existe un conjunto de elementos no negativos $C$, s.t.}\quad B=A+C. $$

Answer 3

Ya que estamos hablando de ordenado de los anillos, tal vez el orden podría ser aplicable para cada comparación, también. es decir, $$ a_n \le b_n \forall a \in A,b \in B$$ si se va a aplicar esto a los conjuntos de números enteros (mayor que 0) y los enteros impares podría parecer que 1<2, 3<4, etc. Por supuesto, la cardinalidad entra en juego, ya que se necesita de n-elementos que existen en ambos conjuntos. Tal vez la advertencia de que podría ser $n=min([A],[B])$.