Demostrar o refutar $\lim\limits_{n \to \infty} (p_{n+1} - p_{n})/\sqrt{p_n} = 0$

Question

¿Puede alguien probar o refutar la siguiente afirmación?

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1} - p_{n}}{\sqrt{p_n}} = 0.$$

Answer 1

En la actualidad, nadie puede probar ni refutar esta afirmación. Es muy famosa y sigue abierta. El mejor resultado incondicional es el de Baker-Harman-Pintz:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1} - p_{n}}{p_n^{0.525}} < \infty.$$

Es muy probable que se pueda demostrar que este límite es exactamente $0$ pero no he leído lo suficiente de el papel para estar seguros.

Answer 2

No creo que nadie lo sepa, aunque estoy buscando cosas por si acaso. Mientras tanto, lo que la gente sospecha es la conjetura Cramer-Granville, $$ \lim \sup \frac{p_{n+1}-p_n}{\left( \log p_n \right)^2} = 2 e^{- \gamma} = 1.1229\ldots, $$ donde el logaritmo es en base $e = 2.718281828459\ldots$ y $\gamma = 0.5772156649\ldots$ es la constante de Euler-Mascheroni. Esta conjetura, y el resultado de Baker mencionado en la otra respuesta, están en GRANVILLE PDF y WookiePedia . Hmmm, no del todo, Granville menciona el anterior $0.535$ resultado de Baker y Harman. Con Pintz llegaron más tarde a $0.525.$

Esto es coherente con una conjetura (mayormente) más sólida que me inventé sin ninguna buena razón, excepto que también se aplica a números pequeños, $$ p_{n+1} \, - \, p_n < \; 3 \; \log^2 \, p_n. $$ Por ejemplo, $$p_1 = 2,\; \log 2 = 0.693147\ldots, \log^2 \, 2 = (0.693147\ldots)^2 = 0.480453\ldots, \; 3 \,\log^2 \, 2 = 1.441359\ldots, $$ y $$ 2 + 1.441359\ldots > 3 = p_2. $$

Answer 3

Esto no se sabe ni siquiera bajo la hipótesis de Riemann, que sólo da $$ \frac{p_{n+1}-p_n}{\sqrt{p_n}\log p_n}<\infty. $$