¿Hace $\int e^\frac 1x \, \mathrm dx$ tiene una forma cerrada?

Question

¿Cómo puedo resolver la integral $\int e^\frac 1x \, \mathrm dx$?

Me encontré con éste al intentar hacer integrales múltiples en $\int\int_D e^{(\frac xy)} \, \mathrm dA$ donde D es la zona entre $y=1$y $y=\sqrt x$

Sé que resolver esta cuestión haciendo $\int^1_0 dy\int^{y^2}_0(e^{\frac xy}dx)$. ¿Pero no me gusta 'saltando' una posible solución, las directrices?

Answer 1

La integral no es elemental. Pero Maple proporciona una forma cerrada en términos de una "integral exponencial" de la función: $$ \int \!{{\rm e}^{{z}^{-1}}}{dz}=z{{\rm e}^{{z z z}^{-1}}}+{\rm Ei}_1 \left(-{z}^{-1} \right) $$ La definición: $$ {\rm Ei}_a \left(z \right) =\int _{1}^{\infty }\!{{\rm e}^{-tz}}{t}^{ -a}{dt} $$

Answer 2

Si sustituye $z=1/x$, entonces usted consigue $\int (-z^{-2} e^z) dz$, que puede ser resuelto mediante la integración por partes (x2).