Supongamos que la función de $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, $f(0)>0$, e $f(1)=0$. Probar que existe un número $x_0 \in (0,1]$ tal que $f(x_0)=0$$f(x)>0$$0\le x < x_0$; es decir, hay un pequeñísimo punto en el intervalo de $[0,1]$ a que la función de $f$ alcanza el valor de $0$.
Vamos $R=\{x\in(0,1]|f(x)=0\}$, $R$ está delimitado por debajo y no está vacío desde $f(1)=0$ donde $1\in R$. De modo que existe un elemento de a $x_0$ $(0,1]$ ser el infimum de $R$. Para producir una contradicción, supongamos que $x_0$ no es un elemento de $R$, entonces para todos los $n$, existe una secuencia $x_n$ $R$ tal que $x_0<x_n<x_0+1/n$. Por lo tanto $x_n$ converge a $x_0$ y nos da $f(x_n)=f(x_0)$ desde $f(x)$ es continua. Pero ya que para todos n $x_n$$R$, por lo que tenemos $f(x_n)=0=f(x_0)$, lo que se contradice con $x_0$ no es un elemento de $R$. Por lo tanto, $x_0$ es el mínimo elemento en $R$. Para mostrar $f(x)>0$$0\leq x<x_0$, vamos a aplicar la contradicción. Para producir una contradicción, asumimos que existe un número $x_1\in[0,x_0)$ tal que $f(x_1)<0$. Desde $f(0)>0$, aplicar ahora el Teorema del Valor Intermedio, existe un número $x_2$ $[0,x_0)$ tal que $f(x_2)=0$, pero esto se contradice con $x_0$ es el mínimo número. Por lo tanto, existe un número $x_0\in(0,1]$ tal que $f(x_0)=0$ $f(x)>0$ $0\leq x<x_0$. $\square$
Alguien puede darme un golpe o sugerencia escribir una prueba sin utilizar el Teorema del Valor Intermedio y escribir una prueba directa ? Gracias
