La singularidad de determinante

Question

En Artin Álgebra 2ª edición página 22, el autor demostró la singularidad de determinante diciendo que cualquier matriz $A$ puede ser escrito en la reducción de la fila-forma escalonada $A'$: $A'=E_1\cdots E_kA$ donde $E_i$ son de la escuela primaria de la matriz. A continuación, $A'$ es $I$ o tiene un cero de la fila. Si $A'=I$,$\delta(A')=1$. De lo contrario, $\delta(A')=0$. En ambos casos, $\delta(A')$ está determinado, y por lo tanto, por $$\delta(A')=\delta(E_1)\cdots\delta(E_k)\delta(A)$$ $\delta(A)$ se determina de forma única.

Sin embargo, como él mismo señaló de inmediato en el párrafo siguiente, la secuencia de $E_1\cdots E_k$ no es única. Entonces, ¿por qué es $\delta(A)$ se determina únicamente?

Editar: El autor define el determinante como una función de $\delta(A)=d\in \mathbb{R}$ la satisfacción de las siguientes 3 condiciones:

(i) $\delta(I)=1$

(ii) $\delta$ es lineal en las filas de la matriz $A$

(iii) Si dos filas adyacentes de $A$ son iguales, $\delta(A)=0$

Luego resultó que las condiciones anteriores implican algunas de las propiedades que todos nosotros sabemos, por ejemplo,

(a) si se intercambian dos filas, se invierte el signo

(b) Si $A$ tiene un cero de la fila, a continuación, $\delta(A)=0$

(c) Multiplicar una fila por un número y lo añade a otra fila no cambia el determinante

(d) $\delta(E)=\pm1$ o $c$

(e) $\delta(AB)=\delta(A)\delta(B)$

Luego se demostró que la función de $\delta$ así definida es única, como se muestra en el inicio de mi post, lo que no entiendo

Answer 1

Si el determinante $\delta$ existe, se puede demostrar que

1. $\delta(E)=c$ si $E$ es el elemental de la matriz correspondiente a la multiplicación de una fila por $c$;

2. $\delta(E)=1$ si $E$ es el elemental de la matriz correspondiente a la generalización de una fila a otra multiplicada por una constante;

3. $\delta(E)=-1$ si $E$ es el elemental de la matriz correspondiente a la conmutación de dos filas;

4. $\delta(A)=0$ si $A$ no es invertible;

5. $\delta(AB)=\delta(A)\delta(B)$.

Si dos determinante funciones de $\delta$ $\delta'$ existen, son ambos cero en el noninvertible matrices, pero, la escritura de un invertible $A$ $$ A=E_1E_2\dots E_k $$ un producto de matrices elementales, llegamos a la conclusión de que $$ \delta(A)=\delta(E_1)\delta(E_2)\dots\delta(E_k)=\delta'(A) $$

Nota inicial si: estamos suponiendo la existencia, no de probarlo. También, tenga en cuenta que la descomposición de un producto de matrices elementales no depende de la determinante; así que sólo uso la misma descomposición para el cómputo de los $\delta(A)$$\delta'(A)$.

El hecho de que la descomposición del producto de matrices elementales no es única, es de hecho un problema, pero con respecto a la existencia de la determinante. En principio, usted podría encontrar dos descomposiciones que producen diferentes valores cuando se calcula con las reglas de 1-5, pero esto no haría más que demostrar que el determinante no existe.