Dar un elemento de $ \mathbb{Z}[\sqrt{-17}] $ que es un producto de dos irreducibles y también un producto de tres irreducibles

Question

Dar un elemento de $ \mathbb{Z}[\sqrt{-17}] $ que es producto de dos irreducibles y también producto de tres irreducibles.

Mis pensamientos hasta ahora:

Utilizando la norma multiplicativa $ N(a + b\sqrt{-17}) = a^2 + 17 b^2 $ vemos que el unidades son precisamente 1, -1. También veo que no hay elementos de norma $ 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15... $ . Así, si un elemento tiene norma 4 o 9, por ejemplo, entonces es irreducible.

Realmente no sé a dónde ir desde aquí.

Se agradece cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

Pista. ¿Cuánto es $(1+\sqrt{-17})(1-\sqrt{-17})$ ? ¿Puede expresarlo como producto de otra manera? ¿Son irreducibles todos los factores que tienes en cualquiera de las dos factorizaciones?

Añadido. ¿Por qué considerar este producto? Si $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ con $d$ un entero impar sin cuadrado mayor que $1$ no es un UFD, entonces $1+\sqrt{-d}$ formará parte de un testigo de este hecho. Usted ha $(1+\sqrt{-d})(1-\sqrt{-d}) = d^2+1$ es divisible por $2$ pero tampoco $1+\sqrt{-d}$ ni $1-\sqrt{-d}$ son divisibles por $2$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ . También, $2$ es irreducible, porque $a^2+db^2 = 2$ no tiene soluciones cuando $d\gt 2$ lo que demuestra que $2$ es un irreducible que no es primo (ya que divide un producto pero ninguno de los factores). Así que $1+\sqrt{-d}$ y $1-\sqrt{-d}$ suelen ser buenas fuentes de ejemplos de cosas que van mal con factorizaciones en irreducibles en $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ cuando esas cosas salen mal.

Coda. Bill Dubuque te dará sin duda una forma general de enfocar este tipo de problema cuando se ponga a ello. Como señalé en los comentarios, lo anterior no pretendía ser un "método", ni un "algoritmo", ni una "solución", sino simplemente el proceso de pensamiento que me llevó a considerar ese producto antes de dedicar demasiado esfuerzo a diseccionar este problema concreto. Dado que daba inmediatamente una solución al problema deseado, eso era todo lo que había escrito.