La generalización de la pieza-sabio funciones lineales sobre un espacio métrico

Question

Supongamos que queremos construir una función $f$ a de un espacio métrico compacto $(X,\rho)$ a un espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$ que es Lipschitz continua con una constante de $L$:

$$ \forall x,y \in X . ||f(x)-f(y)|| \leq L \cdot \rho(x, y) $$

Supongamos que hay una secuencia de la desigualdad en puntos de $\{x_1,...x_N\}$ $X$ de manera tal que todas las métricas $\rho(x_i,x_j)$ son conocidos y $f(x_i)=a_i$ algunos $a_i$ $\mathbb{R}^n$ mientras que:

$$ \forall x_i,x_j \in \{x_1,...x_N\} . ||a_i-a_j|| \leq L \cdot \rho(x_i, x_j) $$

Supongamos también que $\{x_1,...x_N\}$ forma de un número finito de la cubierta de $X$ por bolas de algunos adecuado (conocido) de radio.

Es allí cualquier manera de construir $f$ para todos los puntos en $X$, de modo que es Lipschitz continua con una constante de $L$?

---

Mi primera idea fue usar algo como:

$$f(x):=f\left(x_{i}\right)+\left(f\left(x_{j}\right)-f\left(x_{i}\right)\right)\cdot\dfrac{\rho\left(x,x_{i}\right)}{\rho\left(x_{i},x_{j}\right)}$$

Pero sólo funciona para los puntos "entre" $x_i$$x_j$, y puede haber otros puntos de la red que interfieren.

---

La cuestión ha sido también publicado aquí ya que podría haber algún potencial de investigación.

Answer 1

Considerar las funciones $$g_i(x) = \prod_{j\ne i} \frac{\rho(x,x_j)}{\rho(x_i,x_j)}$$

Y deje $f(x) = \sum_i a_ig_i(x)$. Esto le da una función con los valores de la derecha. No he comprobado si se satisface la condición de Lipschitz, aunque.

Answer 2

Yo sólo tendrá en cuenta las $a_i\in\mathbb R$. (Así que esto no responde a la pregunta original. Esta es la reacción a la OP de la solicitud en este comentario.) Cosas que necesitará saber:

• Si $A,B\subseteq X$ son subconjuntos cerrados de un espacio métrico $X$ tal que $\rho(A,B)>0$, entonces existe una función de Lipschitz $f\colon X\to\mathbb R$ tal que $f|_A=1$$f|_B=0$. Un ejemplo de esta función es $f(x)=\frac{\rho(x,B)}{\rho(x,A)+\rho(x,B)}$. Véase, por ejemplo: Urysohn del lexema con funciones de Lipschitz
• Suma de dos funciones de Lipschitz es Lipschitz. Ver: suma y producto de funciones de Lipschitz

Usando el hecho de que podemos hacer lo siguiente:

Tomando $A=\{x_i\}$ $B=\{x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_N\}$ tenemos una función de Lipschitz tal que $$f_i(x_j)=\delta_{ij}= \begin{cases} 1 & \text{if }i=j, \\ 0 & \text{if }i\ne j. \end{casos} $$

Si tomamos la función $$f(x)=\sum_{i=1}^N a_if_i(x),$$ entonces la función tiene las propiedades requeridas.

• Tenemos $f(x_j)= \sum_{i=1}^N a_if_i(x_j) = a_jf_j(x_j) = a_j$.
• Es una función de Lipschitz, ya que es una combinación lineal de un número finito de Lipschitz de la función. (Y finito de sumas y constante múltiplos de Lipschitz funciones de Lipschitz de nuevo.)

Answer 3

Esto incluso puede ser hecho en $\Bbb{R}$. Observe $\rho(\cdot, x_1)$ es de Lipschitz con constante $1$ $a_1 + L \rho(\cdot,x_1)$ es de Lipschitz con constante $L$. De hecho, cualquier adecuadamente función de Lipschitz acostado en $a_1 + [-L \rho(\cdot, x_1), L \rho(\cdot, x_1)]$ obras. Su segunda pantalla relación dice que la intersección de todas estas regiones es no vacío. En consecuencia, el extremal de la restricción es de $$ f(x) \[\max_j a_j - L \rho(x,x_j), \min_j a_j + L \rho(x,x_j)] $$ and there are rather a lot of Lipschitz continuous functions that globally satisfy this constraint. In the multidimensional case, this becomes $f(x) \en$ the intersection of $N$ ámbitos, pero de nuevo su segunda pantalla de relación y la desigualdad de triángulo muestra esta intersección es no vacía.

Los máximos y mínimos son (uniformemente) funciones continuas de $x$, por lo que una sencilla función para escribir es $f(x) = \frac{1}{2} ( (\max_j a_j - L \rho(x,x_j)) + (\min_j a_j + L \rho(x,x_j) ))$, que es (uniformemente) continuo.

Answer 4

Para todos los que tropecé con esta pregunta, por favor refiérase a este por la respuesta. Esta pregunta pone de relieve el tema así.