Esta es una gran pregunta.
Sabemos que modelos como el logístico, el de Poisson, etc. se engloban dentro de los modelos lineales generalizados.
Bueno, sí y no. Dado el contexto de la pregunta, debemos ser muy cuidadosos a la hora de especificar de qué estamos hablando, y "logístico" y "Poisson" por sí solos son insuficientes para describir lo que se pretende.
(i) "Poisson" es una distribución. Como descripción de una distribución condicional, no es lineal (y, por tanto, no es un MLG) a menos que se especifique un modelo lineal (en parámetros) para describir la media condicional (es decir, no basta con decir "Poisson"). Cuando la gente especifica "regresión de Poisson", casi siempre se refiere a un modelo que es lineal en los parámetros, y por lo tanto es un GLM. Pero "Poisson" por sí solo podría ser cualquier número de cosas*.
(ii) "Logístico", por otra parte, se refiere a la descripción de una media (que la media es logística en los predictores). No es un MLG a menos que se combine con una distribución condicional de la familia exponencial. Cuando la gente dice " regresión logística "por otro lado, casi siempre significan un modelo binomial con enlace logit - que sí tiene media que es logística en predictores, el modelo es lineal en parámetros y está en la familia exponencial, por lo que es un GLM.
El modelo incluye funciones no lineales de los parámetros,
Bueno, de nuevo, sí y no.
En lineal en "modelo lineal generalizado" dice que los parámetros entran en el modelo linealmente. En concreto, lo que se quiere decir es que en la escala del predictor lineal $\eta=g(\mu)$ el modelo es de la forma $\eta=X\beta$ .
que, a su vez, puede modelizarse en el marco del modelo lineal utilizando la función de enlace adecuada.
Correcto
Me pregunto si considera (¿enseña?) situaciones como la regresión logística como un:
(Estoy cambiando el orden de su pregunta aquí)
Modelo lineal, ya que el enlace nos transforma al marco del modelo lineal
Es habitual llamar "lineal" a un MLG, precisamente por este motivo. De hecho, está bastante claro que esta es la convención, porque es justo ahí en el nombre .
Modelo no lineal, dada la forma de los parámetros
Debemos tener mucho cuidado aquí, porque "no lineal" se refiere generalmente a un modelo que no es lineal en los parámetros. Contrasta la regresión no lineal con los modelos lineales generalizados.
Por lo tanto, si desea utilizar el término "no lineal" para describir un MLG, es importante especificar cuidadosamente lo que quiere decir: en general, que la media está relacionada de forma no lineal con los predictores.
De hecho, si utiliza "no lineal" para referirse a los MLG, tendrá dificultades no sólo con la convención (y por lo tanto es probable que no se le entienda), sino también cuando intente hablar de modelos no lineales generalizados . Es un poco difícil explicar la distinción si ya has caracterizado los GLM como "modelos no lineales".
* Consideremos un Poisson no lineal modelo de regresión, uno en el que no hay $g(\mu)$ para el que los parámetros entran linealmente, por lo que todavía tenemos:
$$ Y\sim \text{Poisson}(\mu_x)$$
pero, por ejemplo, donde $x$ es la edad, $Y$ en un determinado $x$ son las muertes observadas, y $\mu_x$ es un modelo de mortalidad anual de la población a la edad $x$ :
$$\mu_x = \alpha + \exp(\beta x)\,.$$
(Normalmente tendríamos aquí una compensación para la población a la edad $x$ que desplazaría el $\alpha$ plazo, pero podemos plantear una situación en la que observemos una exposición constante. Obsérvese que tanto el modelo de Poisson como el binomial se utilizan para modelizar la mortalidad).
En este caso, el primer término representa una tasa de mortalidad constante debida (digamos) a accidentes (u otros efectos poco relacionados con la edad), mientras que el segundo término tiene una tasa de mortalidad creciente debida a la edad. Este modelo puede ser factible a veces en intervalos cortos de edad adulta tardía, pero no senescente. Ley de Makeham (aquí presentada como una función de riesgo, pero para la que una tasa anualizada sería una aproximación razonable).
Es un modelo no lineal generalizado.
