¿Cómo puedo encontrar el límite de la siguiente secuencia $ \sin ^2 ( \pi \sqrt {n^2 + n})$ ?

Question

¿Cómo puedo encontrar el límite de la siguiente secuencia: $$ \sin ^2 ( \pi \sqrt {n^2 + n})$$

Siento que usaré la identidad $$ \sin ^2 ( \pi \sqrt {n^2 + n}) = \frac {1}{2}(1- \cos (2 \pi \sqrt {n^2 + n})), $$

¿Pero entonces qué? ¿Cómo puedo lidiar con el límite de $ \cos (2 \pi \sqrt {n^2 + n})$ ? Sé que $ \cos (n \pi ) = (-1)^n$ si $n$ es un entero positivo, ¿pero entonces qué?

Answer 1

Intuitivamente, $n^2+n$ está casi exactamente a mitad de camino entre $n^2$ y $(n+1)^2$ y así $ \sqrt {n^2+n}$ está muy cerca de un medio entero. Esto significa que $ \sin ( \pi\sqrt {n^2+n})$ debería estar muy cerca de $ \pm 1$ y en cualquier caso $ \sin ^2( \pi\sqrt {n^2+n})$ estará muy cerca $1$ .

Más formalmente, tenemos $$ \sin ^2( \pi\sqrt {n^2+n})= \sin ^2[ \pi ( \sqrt {n^2+n}-n)] $$ Ahora, multiplicando por $1$ en la forma $ \frac { \sqrt {n^2+n}+n}{ \sqrt {n^2+n}+n}$ da

$$ \sin ^2[ \pi ( \sqrt {n^2+n}-n)]= \sin ^2 \left ( \pi\frac {n}{ \sqrt {n^2+n}+n} \right ) $$

Desde $ \lim_ {n \to \infty } \frac {n}{ \sqrt {n^2+n}+n}= \frac {1}{2}$ y $ \sin ^2$ es continua, esta secuencia tiene un límite $ \sin ^2 \frac { \pi }{2}=1$ .

Answer 2

Asumiendo que quieres saber más que el límite mismo.

Usando $$ \sin ^2 ( \pi \sqrt {n^2 + n}) = \frac {1}{2}(1- \cos (2 \pi \sqrt {n^2 + n}))$$ usar la serie de Taylor $$ \sqrt {n^2 + n}=n+ \frac {1}{2}- \frac {1}{8 n}+O \left ( \frac {1}{n^2} \right )$$ $$2 \pi\sqrt {n^2 + n}=(2n+1) \pi - \frac { \pi }{4 n}+O \left ( \frac {1}{n^2} \right )$$ $$ \cos (2 \pi \sqrt {n^2 + n}) \sim - \cos \left ( \frac { \pi }{4 n} \right )=-1+ \frac { \pi ^2}{32 n^2}+O \left ( \frac {1}{n^4} \right )$$ $$ \sin ^2 ( \pi \sqrt {n^2 + n}) =1- \frac { \pi ^2}{64 n^2}+O \left ( \frac {1}{n^4} \right )$$ y luego el límite y cómo se aproxima.

Usando $n=1000$ el valor "exacto" sería $$ \sin ^2 \left (10 \sqrt {10010} \pi \right ) \approx 0.99999984594$$ mientras que la aproximación anterior daría $$1- \frac { \pi ^2}{64000000} \approx 0.99999984578$$

Answer 3

Puedes comprobar $ \sin ^2( \pi\sqrt {n^2 + n})= \sin ^2( \pi\sqrt {n^2 + n}- \pi n)$ . Así que $$ \sin ^2( \pi\sqrt {n^2 + n})= \sin ^2 \pi\frac {n}{ \sqrt {n^2 + n}+n} \to \sin ^2 \frac { \pi }{2}=1.$$