Mostrando que una expresión algebraica número no es una raíz de una real

Question

Al responder a esta pregunta en mathoverflow, me encontré con una pregunta que espero que pueda ser fácilmente respondida por alguien que sabe un poco más de álgebra de mí.

Vamos a hacer que sea muy específico.

Considere la ecuación polinómica $X^4-X^3-X^2-X-1=0$. Tiene dos raíces reales y un par de raíces complejas.

¿Cómo se puede mostrar que las raíces complejas no son las raíces de un número real?

Answer 1

Si $f(x)$ tiene una raíz que es de $\root n\of b$ de $b$, entonces se tendrá un factor irreducible en común con el polinomio mínimo de a $\root n\of b$. Esto coloca a muy fuertes restricciones en $n$ y reducir a un número finito problema en todos los casos.

Estoy asumiendo que, como en el ejemplo, el polinomio es monic con coeficientes enteros, por lo que sus raíces algebraica de los números enteros, que restringe las posibilidades de $b$, ya que, también, debe ser un entero algebraico.

Answer 2

Deje $p(x)$ ser un fijo monic polinomio con coeficientes enteros y el grado $d$. Si $r$ es uno de sus raíces y $r^n = b$ es real y no negativa (e $n$ es mínima con esta propiedad), a continuación, $b$ es un producto de enteros algebraicos, por tanto, un entero algebraico. Por tanto, tenemos $$r = \zeta_n \sqrt[n]{b}$$

para algunos primitivos $n^{th}$ raíz de la unidad $\zeta_n$. Desde $\sqrt[n]{b}$ es real, $\bar{r} = \zeta_n^{-1} \sqrt[n]{b}$ también es una raíz de $p$, y de lo que se deduce que $$\frac{r}{\bar{r}} = \zeta_n^2$$

se encuentra en el fraccionamiento campo $F$$p$. Pero $\zeta_n^2$ genera un cyclotomic campo de grado $\varphi \left( \frac{n}{\gcd(2, n)} \right)$, por lo que este debe dividir el grado de $F$, el cual se divide $d!$. Se sabe que hay sólo un número finito de números con un determinado totient, por lo que hay sólo un número finito de posibilidades para $n$, y así fija $p$ este hecho reduce a un número finito problema como Gerry dice.

Al $p(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 1$, se calcula que el $\bmod 2$ tenemos $p(x) \equiv \frac{x^5 - 1}{x - 1}$, que es irreducible (el más pequeño campo finito $\mathbb{F}_2$ que tiene elementos de orden $5$$\mathbb{F}_{2^4}$), por lo $p$ es irreductible y su división de campo tiene un grado dividiendo $4! = 24$. Por lo $\zeta_n^2$ reside en su división de campo sólo si $$\varphi \left( \frac{n}{\gcd(2, n)} \right) | 24.$$

Si $q$ es un primer dividiendo $n$,$q - 1 | 24$, por lo que sólo podemos tener $q = 2, 3, 5, 7, 13$. De estos, el único impar prime que también divide $24$ $3$ y sólo lo hace una vez, por lo $3$ puede ocurrir con la multiplicidad en la mayoría de las $2$ y el otro los impares primos ocurrir con la multiplicidad en la mayoría de las $1$. Desde $2^3 | 24$, el primer $2$ se produce con la multiplicidad en la mayoría de las $5$.

Resumiendo, para demostrar que $p(x)$ no tiene una raíz que es la raíz de un número real, es suficiente para demostrar que $r^{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13}$ no es real por alguna de las raíces de las $r$, y esto se puede hacer un cálculo finito. Por supuesto, este es un gran exponente, y el tamaño real de los posibles valores de $n$ es menor, pero los posibles valores de $n$ son algo tedioso enumerar.

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He aquí otra idea para descartar los valores de $n$. Recordar que si $K \subset L$ es una inclusión de los campos de número, entonces el discriminante $\Delta_K$ $K$ divide $\Delta_L$. Los discriminantes de la cyclotomic campos de $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ son conocidos (ver Wikipedia, aunque la fórmula general es un poco complicado), y en particular cada divisor primo impar de $n$ divide, por lo que al calcular el discriminante de $p$ podemos descartar que algunos de los factores primos.

WolframAlpha me dice que el discriminante de $x^4 - x^3 - x^2 - x - 1$$-563$. Este es el primer por lo que debe ser el discriminante de la división de campo, y esto ya las reglas de todos los posibles valores de $n$ por encima.

Answer 3

Me gustaría ver una manera elegante de hacer esto, pero aquí está razonablemente una manera concreta:

Si $z$ es complejo de raíz, entonces a partir de la $z$ es algebraica, por lo que es $|z| = \sqrt{z\bar{z}}$, y así es $z/|z|$. Así, podemos encontrar el polinomio mínimo de a $z/|z|$ y, a continuación, la cuestión se reduce a si es un $n$th raíz de la unidad (lo que equivale a compararlo con una lista limitada de cyclotomic polinomios).

Para este caso particular parece que el polinomio mínimo es $X^{10} - X^9 + 2X^7 + 7X^6 + 8X^5 + 7X^4 + 2X^3 - X + 1$, la cual no coincide $\Phi_{11}(X)$ o $\Phi_{22}(X)$, la única cyclotomics de grado 10.