Parte simétrica y asimétrica de la matriz de rotación

Question

Toda matriz puede descomponerse en parte simétrica y parte asimétrica con la fórmula $A=\dfrac{1}{2}(A+A^T)+\dfrac{1}{2}(A-A^T)$ .

Sin embargo, si sólo se conoce la parte simétrica (asumimos aquí que toda la matriz es desconocida) es imposible, sin información adicional, reconstruir exactamente la parte sesgada-simétrica y viceversa.

En el caso de Matriz de rotación 3D tenemos limitaciones adicionales y probablemente esa reconstrucción sea posible. Veamos la fórmula de Rodrigues y dos (simétricas y asimétricas) de la matriz de rotación:

$R(v,\theta)= \{I+(1-cos(\theta))S^2(v)\} + sin(\theta)S(v)$

donde
$S(v)=\begin{bmatrix} v\times{i} & v\times{j}& v\times{k} \end{bmatrix}^T$ , la propia matriz asimétrica ( $3$ Conjunto de DOF por componentes de un eje $v$ )

Se puede notar que teniendo la parte sesgada de la matriz de rotación es relativamente fácil reconstruir la parte simétrica.

En efecto,

$skew(R)=sin(\theta)S(v)$

y toda la expresión $skew(R)$ puede descomponerse en el producto $kK$ de tal manera que la suma de cuadrados de la matriz $K$ entradas
es decir $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} (K\circ{K}) \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}^T =2$ ...

entonces $k=sin(\theta)$ y $K=S(v)$
y podemos calcular $cos(\theta)$ y $S(v)^2$
lo que hace posible la reconstrucción de la parte simétrica.
Exactamente tenemos dos soluciones porque $sin(\theta)=sin(\pi-\theta)$ .

En el segundo caso
cuando queremos reconstruir la parte sesgada-simétrica
la solución parece ser difícil de encontrar (al menos para mí) así que mi pregunta es:

• cómo obtener la parte asimétrica de la matriz de rotación $skew(R)$ conociendo su parte simétrica $sym(R)$ ?

• Además, ¿por qué existe esa asimetría en la dificultad de las soluciones? ( simetría y simetría oblicua en la primera fórmula para la descomposición de cualquier matriz $A$ parecen no diferir demasiado )

• ¿cuál es la situación de las dimensiones superiores? (cuando no tenemos una fórmula de Rodrigues)

Answer 1

"¿cómo obtener la parte simétrica de la matriz de rotación skew(R), conociendo su parte simétrica simetría(R)?" Voy a suponer que estás hablando de rotaciones en $\mathbb{R}^3$ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que una rotación alrededor de un eje de ángulo $\theta$ y una rotación alrededor del mismo eje de ángulo $-\theta$ tienen las mismas partes simétricas. Pero aparte de esta ambigüedad, es posible reconstruir la parte simétrica de una matriz de rotación (hasta un signo) conociendo sólo la parte simétrica. Por lo tanto, se puede reconstruir toda la matriz de rotación (aparte de la ambigüedad anterior) a partir de la parte simétrica.

Prueba: Caso 1: $\operatorname{sym}(R)-I \neq 0$ . Mediante la fórmula Rodrigues, $\operatorname{sym}(R)-I = (1-\operatorname{cos}(\theta))S^2(v)$ . Para una matriz cuadrada $A$ se puede definir su norma por $||A||^2 = \frac{1}{2} Tr(A^TA)$ . Entonces, normalizando $\operatorname{sym}(R)-I$ se deshace de $1-\operatorname{cos}(\theta)$ y obtiene $S^2(v)$ . El núcleo de $S^2(v)$ es el eje de rotación. Queda por recuperar $\operatorname{sin}(\theta)$ hasta una señal. Bueno, en $\operatorname{sym}(R)-I$ el factor que multiplica $S^2(v)$ es $1-\operatorname{cos}(\theta)$ Así que $\operatorname{cos}(\theta)$ es conocida, y a partir de ella podemos obtener $\operatorname{sin}(\theta)$ hasta un cartel.

Caso 2: $\operatorname{sym}(R)-I=0$ Según la fórmula de Rodrigues, esto corresponde a $\operatorname{cos}(\theta) = 1$ es decir, a $R = I$ . Con esto termina la prueba.

Answer 2

Dejemos que $A\in O(n)$ . Por un cambio de base ortonormal, podemos escribir $A$ en la forma $A=diag(R_{\theta_1},\cdots,R_{\theta_p},I_q,-I_r)$ con $R_{\theta_i}=\begin{pmatrix}\cos(\theta_i)&-\sin(\theta_i)\\\sin(\theta_i)&\cos(\theta_i)\end{pmatrix}$ , $\theta_i\in(0,2\pi)\setminus\{\pi\}$ y $2p+q+r=n$ . Entonces la descomposición considerada es $A=S+K$ con $S=diag(\cos(\theta_1)I_2,\cdots,\cos(\theta_p)I_2,I_q,-I_r)$ .

A la inversa, supongamos que sabemos $S$ la parte simétrica de $A$ entonces por un cambio de base ortonormal, podemos escribir $S$ en la forma $S=diag(\cos(\theta_1)I_2,\cdots,\cos(\theta_p)I_2,I_q,-I_r)$ .

Caso 1. El $(\cos(\theta_j)_j$ son distintos. Sea $P_j$ sea el plano propio de $S$ asociado al doble valor propio $\cos(\theta_j)$ ; tenga en cuenta que $P_j$ es el plano invariante de $K$ en función de los valores propios de $K_{|P_j}$ son $\pm i\sin(\theta_j)$ y que el $(\pm i\sin(\theta_j))_j$ son distintos; además, dejemos que $E$ sea un subespacio s.t. $S_{|E}=\pm I$ entonces $K_{|E}=0$ . Así, $K$ es de la forma $diag(U_1,\cdots,U_p,0_q,0_r)$ y, claramente, sólo hay dos opciones para cada uno $U_j$ : $\pm\begin{pmatrix}0&-\sin(\theta_j)\\\sin(\theta_j)&0\end{pmatrix}$ . Por último, hay $2^p$ opciones para la matriz simétrica sesgada $K$ .

Caso 2. El $(\cos(\theta_j)_j$ no son distintos. Por ejemplo, supongamos que $n=4$ y $A$ es similar a $diag(R_{\theta},R_{\theta})$ . Así sabemos que $S=\cos(\theta)I_4$ . Tenga en cuenta que si $P\in O(4)$ entonces $P^{-1}(\cos(\theta)I_4+K)P=\cos(\theta)I_4+P^{-1}KP$ Por lo tanto, el conjunto de soluciones de la matriz sesgada $K$ se compone con el $P^{-1}K_0P$ donde $P\in O(4)$ , $K_0=diag(\begin{pmatrix}0&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&0\end{pmatrix}),$ . Hay una infinidad de tales matrices $K$ .

EDITAR. Respuesta a @ Widawensen . Supongamos que $A$ es una matriz normal real ( $AA^T=A^TA$ ). Entonces $SK=KS$ y existe una matriz unitaria $P$ s.t. $S=P^{-1}diag(a_1 I_2,\cdots, a_p I_2,c_1,\cdots,c_q)P,K=P^{-1}diag(ib_1,-ib_1,\cdots,ib_p,-ib_p,0_q)P$ donde $2p+q=n$ , $(a_j,c_j)_j\in\mathbb{R}$ y $(b_j)_j\in\mathbb{R}^*$ . Más concretamente, hay $P\in O(n)$ s.t. $S=P^{-1}diag(a_1 I_2,\cdots, a_p I_2,c_1,\cdots,c_q)P,K=P^{-1}diag(U_1,\cdots,U_p,0_q)P$ donde $U_j=\begin{pmatrix}0&-b_j\\b_j&0\end{pmatrix}$ .

A la inversa, supongamos que sabemos $S$ Es decir $diag(a_1 I_2,\cdots, a_p I_2,c_1,\cdots,c_q)$ . Si $a_1,\cdots,a_p,c_1,\cdots,c_q$ son distintos, entonces $K$ es de la forma $diag(U_1,\cdots,U_p,0_q)$ Sin embargo, a diferencia del caso en el que $A\in O(n)$ No sabemos nada sobre el $(b_j)_j$ valores.