Calculando el primer cero de la Función Zeta de Riemann a mano

Question

Hay muchas páginas en MSE y otros sitios web sobre los primeros ceros de la Función Zeta de Riemann. En MSE [este] es de lejos (o el único que he encontrado) la explicación más cercana para encontrar el primer cero, pero de nuevo no explica cómo calcular $t \approx 14.134725$ numéricamente en detalle. Y, no creo que resolver $\zeta(z)=\frac 1{1-2^{1-z}}\sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}{n^z}=0$ sería un enfoque plausible(?)

He escuchado que Riemann calculó los primeros tres ceros él mismo y supongo que no tenía acceso a una computadora, ¿entonces cuáles son los métodos/formulas/algoritmos numéricos para llegar a $t \approx 14.134725$ a través del cálculo manualmente?

Answer 1

Una fórmula derivada por Riemann, ahora llamada Fórmula de Riemann-Siegel, proporciona una manera de calcular la función zeta en la línea crítica con extrema precisión. Utilizó la representación integral de contorno de la función Zeta que fue ligeramente modificada (más similar a la función zeta de Hurwitz pero no importa realmente) y amplió el contorno para dar algunos términos fácilmente computables, luego redibujó otro contorno para "concentrar" el valor del resto de la integral y pudo dar algunos términos de resto asintóticos, todos los cuales proporcionan una manera sorprendentemente precisa (y bastante simple) de calcular el valor de la función zeta en la franja crítica. Puedes ver la fórmula en Wikipedia (Específicamente para la franja crítica) y la fórmula generalizada aquí. Usando Desmos pude insertar la fórmula y probé la precisión y me sorprendí, los primeros ceros de la función zeta en la franja crítica se encuentran aproximadamente en: t=14.134725... t=21.02203... t=25.0108... Y aquí hay una imagen de un grafico de la fórmula: https://i.sstatic.net/3kQNz.jpg

Y su precisión se mantiene incluso para valores grandes - dos ceros que están increíblemente cerca uno del otro y describen "el fenómeno de Lehmer", ambos ubicados alrededor de t=7005 se muestran con la fórmula también: https://i.sstatic.net/yGxSg.jpg

Si estás interesado en una derivación exhaustiva de la fórmula, aquí hay una explicación bastante buena - hay varias versiones de la fórmula que son mucho más complejas y tienen una derivación mucho más compleja pero esta aún es adecuada. No puedo subir fotos aquí todavía y estoy en móvil, así que perdón si está desordenado - espero que esto ayude.