$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} = 0.66215 + \frac{1}{2}\log(\infty)^{3}$

Question

Acaba de terminar Euler: El maestro de todos nosotros . Una buena parte del libro está dedicada a explicar en por qué ciertas series divergentes fueron útiles para demostrar los teoremas de Euler, pero ésta nunca se explica: \begin{align} 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdots = 0.66215 + \frac{1}{2}\log(\infty)^{3} \end{align} Me desconcierta esta expresión. Me parece bien $\infty = \infty$ Pero, ¿por qué sería razonable expresarlo así, y cuál es la utilidad?

Answer 1

Eso es bastante extraño... ya que incluso se entiende como una notación precursora de la expansión asintótica, todavía deberíamos obtener

$$ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2k+1} = \frac{1}{2}\log n + C + \frac{1}{2n} - \frac{11}{48n^{2}} + \cdots, $$

donde

$$ C = \frac{\gamma}{2} + \log 2 \approx 0.98175501301071173972. $$

Answer 2

Esta expresión es errónea y se utiliza para demostrar un punto. Esta es la primera frase del párrafo anterior a la expresión.

La observación es que Euler estaba lejos de ser infalible.

El autor está diciendo que incluso Euler comete errores.

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Imagen de la página:

Answer 3

Para $$ \left(\sum_{n=0}^{500} \frac 1 {2n+1}\right) - \frac 1 2\log(2\cdot500+1) = \left(\sum_{\text{odd }n\,\le\,1001} \frac 1 n\right) - \frac 1 2\log(1001) $$ Me sale $0.6368\ldots$ . ¿Podría Euler haber tenido en mente algún tipo de límite como el número en lugar de $500$ ¿crece?

Answer 4

Posiblemente sea relevante:

$$\lim_{n\to\infty}1+\frac13+\frac15+\dotsb+\frac1n-\frac12\ln(n)\approx0.63518$$

El número está apagado, sin embargo

Aquí está la página completa del libro. ¿Alguien puede seguir la nota a pie de página?

Answer 5

Tras una pequeña investigación en el libro de Euler al que se refiere el autor de "Euler: El maestro de todos nosotros", parece que la supuesta ecuación errónea no aparece en absoluto en el libro de Euler.
Esto es probable
a) por fallar en la búsqueda de textos para el número $0.66215$ así como para $66215$ (otros números y/o texto puede se encuentra) y
b) porque no parece que el libro se ocupe en absoluto de esos problemas numéricos más profundos.
Aquí hay una reseña del libro que se puede buscar en Google: la traducción de Hewlett

Por lo tanto, el ejemplo del autor W. Dunham sobre la falibilidad de L. Euler parece infundado, por lo menos desafortunado. Por el contrario, la derivación de la fórmula se encuentra realmente (por ejemplo) en la traducción inglesa (Jordan Bell) de E47 ("Eneström-index") mantenida en arXiv y contiene también el valor correcto $= 0.6351814227307392$ . Esto ocurre en el punto (30) de la página 10 del archivo pdf.

Aquí hay una imagen del escaneo del original E047 en los archivos Euler (He marcado el número con un recuadro rojo):

Observación: Por supuesto, el hecho de tener una sola referencia no significa que posiblemente Euler haya calculado ese valor varias veces en varios artículos y una vez se haya equivocado con el cálculo/con la impresión. Pero parece que no existe en absoluto en el libro, donde la bibliografía del OP señala