¿Tiene algún problema abierto favorito?
Permítanme mencionar uno de mis favoritos. Dejemos que $A(\mathbb{T})$ sea el álgebra de Wiener, es decir, el espacio lineal de las series de Fourier absolutamente convergentes en el círculo unitario $\mathbb{T}$ $(=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}=(-\pi,\pi])$ llevando la norma $$ f\mapsto \|f\|=\sum_{n\in\mathbb{Z}}|\hat{f}(n)|<\infty$$ donde $\hat{f}(n)=\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-int}dt/2\pi$ es el $n$ coeficiente de Fourier de $f$ . De hecho $A(\mathbb{T})$ es un álgebra de Banach conmutativa unitaria. Por convergencia absoluta se deduce que cada $f\in A(\mathbb{T})$ es continua en $\mathbb{T}$ . Además, si $f(t)\not=0$ para todos $t\in\mathbb{T}$ entonces, obviamente $1/f$ también es continua en $\mathbb{T}$ - un famoso teorema de Norbert Wiener (el lema de Wiener) afirma que también tenemos $1/f\in A(\mathbb{T})$ .
A continuación, consideremos un posible refinamiento cuantitativo del lema de Wiener: Dado $\delta>0$ dejar $$C_\delta = \sup_{A_\delta}\|1/f\|$$ donde $A_\delta={f\in A(\mathbb{T}):|f(t)|>\delta,\ \|f\|\leq1}$ .
El problema: Encuentre $$\delta_\inf=\inf_{\delta>0} \ C_\delta<\infty$$ .
Observación 1: Se sabe que $\delta_\inf\leq 1/\sqrt{2}$ y que $\delta_\inf\geq 1/2$ (véase [1,2]).
Observación 2: El problema puede ser tratado en cualquier álgebra de Banach conmutativa que nos unamos.
[1] N. Nikolski, En busca del espectro invisible, Annales de l'institut Fourier, 49 nº 6 (1999), p. 1925-1998
[2] H.S. SHAPIRO, A counterexample in harmonic analysis, en Approximation Theory, Banach Center Publications, Warsaw (submitted 1975), Vol. 4 (1979), 233-236.
