Matriz de covarianza de una distribución esférica uniforme

Question

Necesito averiguar la matriz de covarianza de una uniforme distribución esférica. Pero no puedo encontrar ni siquiera una forma cerrada de la distribución. Este enlace dice que es $\frac{1}{n}\mathbf{I}$ donde $\mathbf{I}$ $n \times n$ matriz identidad. Pero por favor alguien puede ayudarme a obtenerlo? O incluso de punto a la literatura sobre cómo?

Gracias!

p.s. Por uniforme distribución esférica, sí, me refería a la unidad de la esfera en $\mathbb{R}^n$$S^{n-1} = \{ s \in \mathbb{R}^n : |s| = 1 \}$.

Answer 1

De acuerdo con @whuber la respuesta publicada aquí, la distribución esférica es visto como

$$ \left( Y_1 = \frac{X_1}{\sqrt{X_1^2+...+X_n^2}}, ... , Y_n = \frac{X_n}{\sqrt{X_1^2+...+X_n^2}}\right)$$

donde todos los $X_i$ son independientes de Gauss $(0,1)$.

Si $(Y_1, ..., Y_i, ... Y_n)$ es uniforme en la unidad de la esfera, entonces también lo es $(Y_1, ..., -Y_i, ... Y_n)$, por lo que tienen la misma distribución. En particular esto implica que $E(Y_i)=-E(Y_i)$ y también que $E(Y_iY_j) = - E(Y_iY_j)$ todos los $j \neq i$. Por lo tanto, los medios y los términos de covarianza son iguales a 0, como menciona @whuber en los comentarios.

Para la varianza, aviso que

$$E \left( Y_1^2 \right) + ... + E \left( Y_n^2 \right) = E \left( Y_1^2 + ... + Y_n^2 \right) = 1.$$

Por razones de simetría, el$Y_i$, obviamente, son intercambiables (pero no independientes), por lo que el $E \left( Y_1^2 \right) = ... = E \left( Y_n^2 \right)$ y por lo tanto cada uno de ellos es igual a $1/n$.

Im resumen, la varianza de los términos son iguales a $1/n$ y los términos de covarianza son iguales a $0$, por lo que la matriz de covarianza es $\frac{1}{n} \mathbf{I}$. Este es un gran ejemplo de correlación de las variables dependientes (por ejemplo, si $Y_1 = 1$, a continuación, todos los demás valores tienen que ser $0$).