Encontrar $f \in L^p(\mathbb{R}^n)$ tal que $\hat{f} \notin L^p(\mathbb{R}^n)$

Question

Escuché que hubo funciones $f \in L^p(\mathbb{R}^n)$ tal que $\hat{f} \notin L^p(\mathbb{R}^n)$. ¿Hay un ejemplo concreto de esas funciones? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Que $r > 0$. Entonces $ \int{0}^{\infty}e^{-rx}e^{-isx}dx=\frac{1}{r+is}. $$ Es la función $f(x)=e^{-rx}\chi{[0,\infty)}(x)$ $L^1$, pero no es $\hat{f}(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(r+is)}$ $L^1$.