Cada función es la suma de una función par y una función impar de una manera única

Question

Se sabe que cada función$f(x)$ definida en el intervalo$(-a,a)$ se puede representar como la suma de una función par y una función impar. sin embargo

¿Cómo se prueba que esta representación es única?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Si$f = g_1 + g_2 = h_1+h_2$ donde$g_1,h_1$ son pares y$g_2,h_2$ son impares, entonces $$ g_1 - h_1 = g_2 - h_2 \ tag {1} $$ donde el lado izquierdo de$(1)$ es par y el lado derecho es impar, por lo tanto, ambos lados son solo$0$. De hecho, es fácil mostrar solo a partir de las definiciones que cualquier función que sea par e impar debe ser una constante$0$.