Es un hecho que si dos grupos fucsianos son conjugados, las superficies correspondientes son isométricas. ¿Es cierto lo contrario?
Toma 2 superficies isométricas de Riemann S y S′ (que están cubiertos por el semiplano superior) o equivalentemente 2 superficies hiperbólicas. Se puede dotar a su cobertura universal de la estructura compleja (o hiperbólica), de modo que se puedan identificar con el plano hiperbólico. Entonces S=H/Γ y S′=H/Γ′ donde Γ y Γ′ son dos grupos fucsianos. ¿Son conjugados?
Dejemos que φ:S→S′ sea una isometría. Como H está simplemente conectado, φ elevaciones a un mapa ˜φ:H→H haciendo que el siguiente diagrama sea conmutable: H˜φ→H↓↓Sφ→S′ Entonces ˜φ es una isometría local. Dado que H es simplemente conectado y geodésicamente completo, se deduce que ˜φ es una isometría. Afirmamos que ˜φ−1Γ′˜φ=Γ .
Dejemos que γ′∈Γ′ y que p:H→S y p′:H→S′ sean los mapas de cobertura. Sabemos que γ′ es una transformación de cobertura para p′ es decir p′γ′=p′ . Desde p′˜φ=φp tenemos p˜φ−1γ′˜φ=φ−1p′γ′˜φ=φ−1p′˜φ=p. Así, ˜φ−1γ′˜φ es una transformación de cobertura para p Así que ˜φ−1γ′˜φ∈Γ . Esto demuestra que ˜φ−1Γ′˜φ≤Γ y un argumento similar muestra que Γ≤˜φ−1Γ′˜φ .
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