Dejemos que $\varphi\colon S\to S'$ sea una isometría. Como $\mathbb{H}$ está simplemente conectado, $\varphi$ elevaciones a un mapa $\widetilde{\varphi}\colon \mathbb{H}\to \mathbb{H}$ haciendo que el siguiente diagrama sea conmutable: $$ \begin{array}{ccc} \mathbb{H} & \xrightarrow{\widetilde{\varphi}} & \mathbb{H} \\ \downarrow & & \downarrow \\ S & \xrightarrow{\varphi} & S' \end{array} $$ Entonces $\widetilde{\varphi}$ es una isometría local. Dado que $\mathbb{H}$ es simplemente conectado y geodésicamente completo, se deduce que $\widetilde{\varphi}$ es una isometría. Afirmamos que $\widetilde{\varphi}^{-1}\;\Gamma'\,\widetilde{\varphi} = \Gamma$ .
Dejemos que $\gamma'\in\Gamma'$ y que $p\colon\mathbb{H}\to S$ y $p'\colon\mathbb{H}\to S'$ sean los mapas de cobertura. Sabemos que $\gamma'$ es una transformación de cobertura para $p'$ es decir $p'\gamma'=p'$ . Desde $p'\widetilde{\varphi} = \varphi p$ tenemos $$ p\widetilde{\varphi}^{-1}\gamma'\widetilde{\varphi} \,=\, \varphi^{-1}p' \gamma'\widetilde{\varphi} \,=\, \varphi^{-1} p' \widetilde{\varphi} = p. $$ Así, $\widetilde{\varphi}^{-1}\gamma'\widetilde{\varphi}$ es una transformación de cobertura para $p$ Así que $\widetilde{\varphi}^{-1}\gamma'\widetilde{\varphi} \in \Gamma$ . Esto demuestra que $\widetilde{\varphi}^{-1}\Gamma'\widetilde{\varphi} \leq \Gamma$ y un argumento similar muestra que $\Gamma \leq \widetilde{\varphi}^{-1}\Gamma'\widetilde{\varphi}$ .
