Posición de un objeto suspendido de una cuerda (Necesita otra respuesta)

Question

Voy a intentar cometer el menor número posible de errores al escribir esto, así que, por favor, tened paciencia conmigo y pedidme que aclare/corrija lo que sea necesario.

P: Si un objeto está suspendido de una cuerda colgada entre dos postes verticales de distintas alturas, ¿cuál es la posición del objeto en función de las siguientes variables?

$i$ - distancia entre polos

$\Delta j$ - diferencia de altura de los postes

$l$ - longitud de la cadena

Una visual antes de aclarar algunos detalles menores:

Y algunos detalles:

La cuerda se sujeta en la parte superior de cada poste.

Suponemos que la cuerda tiene una masa despreciable, lo que significa que nuestros dos segmentos son lineales y no catenarias por sí solas.

La imagen muestra una cuerda de la que cuelga un objeto, no dos cuerdas separadas.

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Ahora, pasé cerca de un mes generando y ajustando un método para dar la posición como un par de coordenadas en términos de $i, \Delta j,$ y $l$ con respecto al punto medio de las puntas de los polos. En breve publicaré esta solución.

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Dónde entrar

Quiero ver de qué otras formas se puede calcular la posición del objeto. Para soluciones especialmente buenas, puedo conceder recompensas. A continuación le pido algunas cosas para su respuesta:

$1$ . Siempre que utilice $i$ , $\Delta j$ y $l$ Puedes utilizar cualquier otra variable que necesites para llegar a la respuesta final, siempre que ésta se obtenga a partir de esas 3 variables.

$2$ . Tu sistema de coordenadas puede ser con respecto a cualquier punto del sistema, sólo tienes que especificarlo. Por ejemplo, el mío es con respecto al punto medio de las dos puntas de los polos.

$3$ . Se recomienda encarecidamente el uso de elementos visuales siempre que sea necesario.

$4$ . Por favor, indique qué ramas de las matemáticas eran partes críticas de su método. En realidad hay varias maneras muy diferentes de abordar este problema (estoy trabajando en un segundo utilizando métodos muy diferentes a los que voy a publicar). Pregunto esto para que yo mismo y otros que puedan encontrarse con algo con lo que no estamos familiarizados podamos investigarlo.

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Muchas gracias por tomarse el tiempo de leer esto, ¡y espero ver grandes soluciones!

Answer 1

Esto puede resolverse aplicando las leyes de Newton y un poco de geometría.

Si los polos están a la misma altura, la simetría dicta que el equilibrio se alcanza a medio camino entre ellos. Tratamos los segmentos de cuerda como miembros de dos fuerzas, por lo que, en particular, la fuerza transmitida por ellos es independiente de su longitud. De ello se deduce que en todas las configuraciones los ángulos $\alpha$ y $\alpha'$ en el diagrama inferior son iguales. Además, la masa debe estar más baja que la parte superior de ambos postes, de lo contrario habrá una fuerza lateral neta que la desplazará hacia el poste inferior. Esto nos permite "enderezar" la cuerda, tras lo cual la solución se obtiene fácilmente. Supongamos que el polo inferior está a la izquierda y que $x$ y $y$ son las distancias horizontal y vertical, respectivamente, desde la parte superior del polo izquierdo (inferior). El teorema de Pitágoras nos da $$i^2+(2y+\Delta j)^2=l^2$$ o $$y=\frac12\left(\sqrt{l^2-i^2}-\Delta j\right).\tag{1}$$ Los triángulos semejantes nos dan $$\frac xy = \frac i{2y+\Delta j}$$ así que $$x=i\frac y{2y+\Delta j}=\frac i2\left({\sqrt{l^2-i^2}-\Delta j\over\sqrt{l^2-i^2}}\right).\tag{2}$$ Te dejo que compruebes que las ecuaciones (1) y (2) también se cumplen cuando $\Delta j\le0$ es decir, que podemos abandonar la suposición de que el polo izquierdo es más bajo.

Unas cuantas pruebas sencillas avalan la plausibilidad de esta solución. En primer lugar, cuando $\Delta j=0$ tenemos $x=\frac i2$ y $y=\frac12\sqrt{l^2-i^2}$ como se esperaba. Cuando $\Delta j\gt0$ como $l$ se acerca a la distancia entre las puntas de los postes, ambos $x$ y $y$ se aproximan a cero, mientras que cuando $\Delta j\lt0$ , $x$ se acerca a $i$ y $y$ se acerca a $\left\vert\Delta j\right\vert$ es decir, el punto de equilibrio se acerca cada vez más a la parte superior del polo inferior a medida que la cuerda se acorta. En $\Delta j\gt0$ , $x\lt\frac i2$ y para $\Delta j\lt0$ , $x\gt\frac i2$ es decir, el punto de equilibrio está siempre más cerca del polo inferior. Por último, a medida que $l$ aumenta, $x$ se acerca a $\frac i2$ de ambos lados.

Adición: Observando que el lugar de las posibles posiciones de la masa es una elipse como en esta respuesta conduce a otra prueba de que los ángulos del diagrama son iguales. La masa estará en reposo en un punto en el que el potencial gravitatorio sea mínimo. Se trata de un problema de optimización con restricciones al que se puede aplicar el método del multiplicador de Lagrange: el mínimo se alcanzará en un punto de la elipse cuya normal sea paralela al gradiente del potencial, que está en la dirección del aumento de la altura. Sin embargo, toda normal a una elipse es bisectriz del ángulo a los focos, lo que hace que $\alpha$ y $\alpha'$ igual también.

Answer 2

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Esta solución se basa en gran medida en la geometría analítica y el cálculo diferencial.

Volvamos a ver la imagen de la OP:

Hay que tener en cuenta que la suma de la longitud de los dos segmentos de cuerda (uno va del polo 1 al objeto y el otro del objeto al polo 2) es una constante. Esto significa que, dados los segmentos de cuerda tensos, la gráfica de los segmentos de cuerda posibles es una elipse cuyos focos son los puntos extremos de los polos. Podemos utilizar el cálculo diferencial para encontrar su mínimo y, por tanto, las coordenadas del objeto. Considere esta visual:

Ahora vamos a establecer algunas variables para nuestro trabajo.

Nuestras tres variables conocidas serán: $$\color{red}{i=\text{distance between poles/endpoints}}$$ $$\color{#F80}{\Delta j=\text{difference in height of poles/endpoints}}$$ $$\color{pink}{l=\text{catenary length}}$$

Otras variables que más tarde obtendremos en términos de los tres conocidos:

$$\color{purple}{a=\text{length of semimajor axis of ellipse}}$$ $$\color{blue}{b=\text{length of semiminor axis of ellipse}}$$ $$\color{yellow}{c=\text{distance from center to foci/endpoints}}$$ $$r=\text{distance between foci} \text{(Not shown)}$$ $$\color{green}{\theta=\text{angle of elevation/depression between endpoints}}$$

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Utilizando la geometría analítica y la trigonometría, surgen las siguientes relaciones:

$$\sin \theta=\frac{\Delta j}{r}$$

$$\cos \theta=\frac{i}{r}$$

$$a=\frac{l}{2}$$

$$c=\frac{\sqrt{i^2+\Delta j^2}}{2}$$

$$b=\sqrt{\frac{l^2-i^2-\Delta j^2}{4}}$$

Ahora la parte matemática. La ecuación para una elipse rotada es la siguiente:

$$\frac{(x\cos\theta + y\sin\theta)^2}{a^2} + \frac{(x\sin\theta - y\cos\theta)^2}{b^2} = 1 $$

Encontrar un denominador común e introducir esas identidades trigonométricas básicas:

$$b^2\left(x\left(\frac{i}{r}\right)+y\left(\frac{\Delta j}{r}\right) \right)+a^2\left(x\left(\frac{\Delta j}{r}\right)-y \left(\frac{i}{r}\right)\right)=a^2b^2$$

Ahora diferenciemos y aislemos implícitamente $\frac{dy}{dx}$ .

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-b^2i^2x-b^2i\Delta jy-a^2\Delta j^2x+a^2i\Delta jy}{b^2i\Delta jx+b^2\Delta j^2y+a^2i\Delta jx-a^2i^2y}$$

Ajuste de la pendiente igual a $0$ y aislar $y$ :

$$y=\frac{b^2i^2x+a^2\Delta j^2x}{a^2i\Delta j-b^2i\Delta j}$$

Introduciéndola en la ecuación original de la elipse y aislando x:

$$x=\frac{i\Delta j(a^2-b^2)}{\sqrt{a^2i^4\Delta j^2+2a^2i^2\Delta j^4+a^2\Delta j^6+b^2i^2\Delta j^4+2b^2i^4\Delta j^4+b^2i^6 }}$$

Introducir identidades para $a$ y $b$ y simplificando:

$$x=\frac{i\Delta j(i^2+\Delta j^2)^{3/2}}{2\sqrt{3i^4\Delta j^2l^2+3i^2\Delta j^4l^2- 3i^4\Delta j^4-3i^6\Delta j^2-i^2\Delta j^6+i^6l^2+\Delta j^6l^2-i^8 }}$$

Un poco de trabajo muestra que $y$ es esta:

$$y=\frac{(-i^2\Delta j^2+i^2l^2+\Delta j^2l^2-i^4)\sqrt{i^2+\Delta j^2}}{2\sqrt{3i^4\Delta j^2l^2+3i^2\Delta j^4l^2- 3i^4\Delta j^4-3i^6\Delta j^2-i^2\Delta j^6+i^6l^2+\Delta j^6l^2-i^8 }}$$

RESPUESTA

Así pues, nuestra posición en términos de $i,\Delta j$ y $l$ $\;\;\forall\;\theta\in[0,\frac{\pi}{2})$ con respecto al punto medio de los extremos de los polos:

$$x=\frac{-i\Delta j(i^2+\Delta j^2)^{3/2}}{2\sqrt{3i^4\Delta j^2l^2+3i^2\Delta j^4l^2- 3i^4\Delta j^4-3i^6\Delta j^2-i^2\Delta j^6+i^6l^2+\Delta j^6l^2-i^8 }}$$

$$y=\frac{(-i^2\Delta j^2+i^2l^2+\Delta j^2l^2-i^4)\sqrt{i^2+\Delta j^2}}{2\sqrt{3i^4\Delta j^2l^2+3i^2\Delta j^4l^2- 3i^4\Delta j^4-3i^6\Delta j^2-i^2\Delta j^6+i^6l^2+\Delta j^6l^2-i^8 }} $$

$\;\;\forall\;\theta\in[\frac{\pi}{2},\pi)$ con respecto al punto medio de los extremos de los polos:

$$x=\frac{i\Delta j(i^2+\Delta j^2)^{3/2}}{2\sqrt{3i^4\Delta j^2l^2+3i^2\Delta j^4l^2- 3i^4\Delta j^4-3i^6\Delta j^2-i^2\Delta j^6+i^6l^2+\Delta j^6l^2-i^8 }}$$

$$y=\frac{(-i^2\Delta j^2+i^2l^2+\Delta j^2l^2-i^4)\sqrt{i^2+\Delta j^2}}{2\sqrt{3i^4\Delta j^2l^2+3i^2\Delta j^4l^2- 3i^4\Delta j^4-3i^6\Delta j^2-i^2\Delta j^6+i^6l^2+\Delta j^6l^2-i^8 }} $$

Ignoré mostrar los pasos ya que son muy extensos y requerirían horas para formatearlos correctamente (en algunos puntos tuve que usar fuente de tamaño 5 las líneas eran tan largas). No obstante, los tengo todos en Word, así que si alguien quiere verlos estaré encantado de proporcionárselos.

Answer 3

A continuación se muestra un diagrama.

ecuaciones se enumeran a continuación.

$$\begin{cases} \tan \alpha = \frac {\bigtriangleup j}b \\ \sin \alpha = \frac b{l_1} \\ \cos \alpha = \frac a{l_2} \\ 2l_2+l_1 = l \\ 2a +b = i \end{cases}$$

Aquí tenemos cinco incógnitas: $\alpha, a, b, l_1, l_2$ Por lo tanto, existe la posibilidad de escribir la posición de la masa a en términos de $\bigtriangleup j, i$ y $l$ .

Así, $\alpha$ , a y b están definidos implícitamente por, $$i-\frac{\bigtriangleup j}{\tan \alpha}=l \cos \alpha - \frac {\bigtriangleup j}{\tan ^2 \alpha}$$

y la solución es,

$$x = \frac b2 =\frac12(\frac{\bigtriangleup j}{\tan \alpha})$$

$$y = \frac{\bigtriangleup j}{2 \tan \alpha}-\frac{l}{2}\sin \alpha$$

En este método, tenemos que equilibrar el peso. La única condición es que los ángulos sean iguales.