Encuentre todos$(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ de modo que$5^{x}+3^{y}$ sea un cuadrado perfecto

Question

• $\textbf{Question.}$ Encuentra todos$(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ de forma que$5^{x}+3^{y}$ sea un cuadrado perfecto

• Una cosa que observé es la siguiente. Como$5 \equiv 1 \pmod{4}$, esto dice$5^{x}\equiv 1 \pmod{4}$. Ahora si$y$ es par, entonces$3^{y}\equiv 1\pmod{4}$, luego$5^{x}+3^{y}\equiv 2 \pmod{4}$. Pero no hay cuadrados que sean$2\pmod{4}$. Esto dice que$y$ no puede ser par. Por lo tanto$y$ es impar.

• No estoy seguro de cómo proceder más. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Como lo notó el OP,$y$ tiene que ser impar.

Cada cuadrado perfecto es congruente con 0, 1 o 4 módulo 5, por lo tanto, si$x>0$, luego$3^y \equiv 1,4 \pmod 5$, lo que implica que$y$ tiene que ser par. Por lo tanto, no hay soluciones con$x>0$.

Para$x=0$, la ecuación se convierte en$1+3^y = m^2$ para un entero positivo$m$. Entonces $(m-1)(m+1) = 3^y$. Como 3 no puede dividir ambos factores, la única posibilidad es$m-1=1$ y$m+1=3^y$. La única solución es$m=2$, cuando$y=1$ también.

Por lo tanto,$(x,y) = (0,1)$ es la solución única.