Definición de $S^1\wedge S^1$ $S^1\times S^1 \Big/ S^1\vee S^1$ y ver el toro como un cuadrado con lados opuestos identificados, $S^1\vee S^1$ es justo el límite del rectángulo, por lo que es el cociente del disco $S^1\wedge S^1$ con su límite, que es $D^2$ $$S^1\wedge S^1 = D^2/\partial D^2 \cong S^2$ $ esta explicación está bien para mí, pero me gustaría ver un comp Lete de la prueba de este hecho, y no sé dónde empezar. Si es posible me gustaría algunos consejos sobre cómo proceder en lugar de una respuesta completa. Gracias de antemano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una manera de hacer que este se sienta más riguroso es considerar $S^1\times S^1$ como un CW-complejo, y jugar con el cociente espacios para asegurarse de que todo saliera bien. Esta no será la mejor manera de ir sobre él, pero habrá más detalles más irrelevantes que pueden ser ilustrativos. Ya que no quiero una respuesta completa, te voy a dar un resumen con los detalles ocultos en un spoiler.
En primer lugar, construir la $1$-esqueleto. Este es homeomórficos a $S^1\vee S^1$.
Deje $X^0 = \{e_0\}$$D_1,D_2\cong\mathbb{D}^1$. Definir adjuntar mapas a ser la constante de mapas de $f_i:\partial D_i\to X^0$. Para $Y_1:= X^0\bigsqcup D_i$, de forma que el cociente del espacio de $X^1 = Y_1/(x\sim f_i(x))$$x\in\partial D_i$.
A continuación, conecte un solo disco de $D$ a crear un complejo homeomórficos a $S^1\times S^1$.
Ahora vamos a $D\cong\mathbb{D}^2$ y definir una adjuntar mapa de $f:\partial D \to X^1$. [Para mayor brevedad amor y el mío propio, me voy a omitir los detalles de esta particular adjuntar mapa. Sin embargo, usted debe ser capaz de construir usted mismo.] A continuación, para $Y_2 := X^1\bigsqcup D$, se forma el cociente del espacio de $X^2 = Y_2/(x\sim f(x))$$x\in\partial D$. Deje $p$ ser el cociente de mapa de $p:Y_2\to X^2$.
Considerar el cociente de la 2-esqueleto por el 1-esqueleto.
Ahora consideramos el cociente del espacio de $X^2/X^1$ con cociente mapa de $q$, y deje $A$ denota la clase de equivalencia $[X^1]$. Para determinar qué es esto, seguimos la cadena de cociente de mapas. Para cualquier $x\in(\partial D \cup X^1)$, la imagen de $p(x)\in X^1$, y por lo $(q\circ p)(x)\in A$. Por lo tanto,$\partial D\mapsto A$. Para cualquier $y\in D^{\circ}$, por definición de nuestros mapas, $(q\circ p)(y) = y$.
Nota donde $\partial D$ $D^{\circ}$ son enviados. Probar este espacio es $S^2$.
A continuación, $r= (q\circ p)$ es un cociente mapa tal que $r|_{D^{\circ}} = id_{D^{\circ}}$ $r(\partial D)$ es un solo punto, decir $b$. De este modo obtenemos una homeomorphism entre el $X^2/X^1$ $D/\partial D$ mediante el envío de $A\mapsto b$ y actuando como la identidad de todas las demás. Desde $D/\partial D\cong S^2$, hemos terminado.
No estoy seguro de que todos los detalles son correctos, por lo que la retroalimentación es bienvenida.
