¿Cómo se sigue $s\int_1^{\infty}\frac{\psi(x)}{x^{s+1}}dx$ ?

Question

Tengo dos relaciones:

1) $-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s}$ .

2) $\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$ .

De estas dos cosas se deduce que $-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=s\int_1^{\infty}\frac{\psi(x)}{x^{s+1}}dx$ , para $s>1$ . ¿Alguien puede explicar cómo se sigue?

Answer 1

Empecemos con la definición del Función von Mangoldt ( $p$ siempre significará un primo) : $$\ \Lambda(n):=\begin{cases} \log\, p & \text{if}\ n=p^k\ \text{and}\ k>0\\ 0 & \text{else} \end{cases}$$

Podemos utilizar el producto de Euler en $\ \displaystyle\log \zeta(s)=-\sum_{p\ \text{prime}}\log(1-p^{-s})=\sum_p\sum_{k=1}^\infty \frac{p^{-ks}}k\ $ para obtener su primera relación (después de la derivación) :

$$\tag{1}-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_p\sum_{k=1}^\infty \frac{\log\,p}{p^{ks}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}\quad\text{for}\ \ \Re(s)>1$$

Después queremos utilizar la definición del segunda función de Chebyshev : $$\tag{2} \psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$$

Pero, utilizando Fórmula de la suma de Abel con $a(n):=\Lambda(n)$ y $\phi(n):=n^{-s}$ , obtenemos : $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}=s\int_1^\infty \frac {\sum_{n\leq x}\Lambda(n)}{x^{s+1}}\;dx$$ es decir, utilizando $(1)$ y $(2)$ la fórmula deseada : $$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=s\int_1^{\infty}\frac{\psi(x)}{x^{s+1}}dx$$

Invirtiendo esto Transformación de Mellin para expresar $\psi(x)$ produciría Fórmula de Perron como se muestra en este derivación de la "fórmula explícita con un mejor manejo de las discontinuidades.