Por qué no pueden los números primos satisfacer el Teorema de Pitágoras? Es decir, ¿por qué no puede un conjunto de 3 números primos ser un triplete de Pitágoras?

Question

Supongamos que $a$, $b$ y $c$ son de tres números primos.

Cómo probar que $a^2 + b^2 \neq c^2$?

Answer 1

Sugerencia: Si $a,b$ son impares, números primos, $a^2 + b^2 > 2$, e incluso se está. Por lo tanto, las únicas posibilidades son $$ 2^2 + 2^2 = c^2 \\ 2^2 + b^2 = c^2 $$ y que no es posible porque $c - b \ge 2 \implies c^2>2^2 + b^2$.

Answer 2

De $a^2+b^2=c^2$ obtenemos $a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)$, es decir, una factorización de $a^2$ en dos distintos factores de $c+b>c-b$. El único factorizations para el cuadrado de un primo es $a^2\cdot 1$, es decir, llegamos a la conclusión de $c-b=1$, por lo tanto $b=2$, $c=3$. Pero, a continuación,$a^2=5$, qea.

Answer 3

La suma de dos números impares son aún, así que uno de los números debe ser $2$.

Si $a$ o $b$ $2$ tenemos $a^2+4=c^2$ o $4=(c+a)(c-a)$ Desde $c-a$ $c+a$ tienen la misma paridad, esto es imposible.

Si $c=2$ tenemos $a^2+b^2=4$ pero desde $a$ $b$ son positivos, ambos deben ser $1$, pero $1^2+1^2=2$.

Answer 4

Los números primos son todos impares esperar $2$, por lo que si $a, b, c$ no contienen $2$, $a^2 + b^2$ es aún sino $c^2$ es impar, entonces $a^2 + b^2 = c^2$ no puede ser verdad.

Por supuesto, si $c=2$, $a^2 + b^2 = c^2$ no puede ser verdad.

Si $a = 2$, $c>b$ $c^2 - b^2 \geq (b+2)^2 - b^2 = 4b + 4 > a^2 $

Answer 5

Sugerencia:
Todas las ternas Pitagóricas puede ser escrita como:

$$ a = k\cdot(m^2 - n^2) ,\ \, b = k\cdot(2mn) ,\ \, c = k\cdot(m^2 + n^2),$$

donde $m, n$, e $k$ son enteros positivos con $m \gt n, m − n$ impar, y con $m$ $n$ coprime.