Soy un estudiante de la escuela secundaria de auto-estudio de análisis, y estoy leyendo Apostol del libro. Escribí una prueba que muestra que $\mathbf{R}^n$ tiene una contables de la base, pero no estoy seguro de si es correcto. Yo sólo quería un poco de retroalimentación sobre el mismo. Gracias!
Demostrar que $\mathbf{R}^n$ tiene una contables de la base.
Prueba. Construimos una cubierta abierta $\{V_{\alpha}\}$ $\mathbf{R}^n$ considerando la unión de todos los barrios con rational centros y racional de los radios, es decir, $$\{V_{\alpha}\} = \{ N_q(n):q, n \in \mathbf{Q} \}$ $ Escoge un arbitrario $x \in \mathbf{R}^n$, y tomar cualquier conjunto abierto $S$ tal que $x \in S.$ Desde $S$ está abierto, no debe ser un vecindario $N_{\epsilon}(x)$ radio $\epsilon$ $x$ tal que $N_{\epsilon}(x) \subset S$.
Tomar el punto de $j \in \mathbf{Q}^n$ tal que $d(j,x) < \frac{\epsilon}{100}$, que existe desde $\mathbf{Q}^n$ es denso en $\mathbf{R}^n.$
Ahora, tome $k \in \mathbf{Q}^n$, de modo que $ \frac{\epsilon}{100} < k < \frac{\epsilon}{10}$. Por lo tanto, $N_k(j) \in \{V_{\alpha}\}$. Claramente, $$x \in N_k(j) \subset N_{\epsilon}(x) \subset S.$$ $\{V_{\alpha}\}$ es por tanto una base.
$\{V_{\alpha}\}$ es contable, ya que se trata de una unión de un contable de la colección de conjuntos contables.
Por lo tanto, $\{V_{\alpha}\}$ es una contables de la base.
