Cálculo en forma cerrada otra serie alternada de digamma

Question

¿Hay alguna manera inteligente de terminarlo rápidamente?

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Tal vez usando una representación en serie de Digamma u otras formas que le gustaría compartir. ¿O es posible terminarlo solo mediante manipulación en serie (como una cuestión distinta en la que estoy interesado)?

Pregunta suplementaria : demostrar que

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Answer 1

La definición de serie de la función digamma da:$$ $$\begin{eqnarray*} -S&=&\sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 1}\frac{32(-1)^n}{(8m+3n-7)(8m+3n-3)}\\&=&8\sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 1}(-1)^n\left(\frac{1}{8m+3n-7}-\frac{1}{8m+3n-3}\right)\\&=&8\int_{0}^{1}\sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 1}(-1)^n\left(x^{8m+3n-8}-x^{8m+3n-4}\right)\,dx\\&=&-8\int_{0}^{1}\frac{x^3\,dx}{(1+x)(1+x^4)(1-x+x^2)}\end{eqnarray*}$$ , por lo tanto, la descomposición de fracciones parciales da:

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Acerca de la pregunta complementaria, con el mismo enfoque: $$S = \left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}-\frac{8}{3\sqrt{3}}\right)\pi-\frac{1}{3}\log 2. $ $ La descomposición de fracciones parciales ahora es más tediosa, pero en cualquier caso, las raíces de$$ $$\begin{eqnarray*} S_2&=&\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^{n} \left(\psi\left(\frac{5}{8}+\frac{9 n}{32}\right)-\psi\left(\frac{1}{8}+\frac{9 n}{32}\right)\right)\\&=& \sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 1}\frac{512(-1)^n}{(-28+32 m+9 n) (-12+32 m+9 n)}\\&=&32\sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 1}(-1)^n\left(\frac{1}{32m+9n-28}-\frac{1}{32m+9n-12}\right)\\&=&32\int_{0}^{1}\sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 1}(-1)^n\left(x^{32m+9n-29}-x^{32m+9n-13}\right)\,dx\\&=&-32\int_{0}^{1}\frac{x^{12}}{1+x^9+x^{16}+x^{25}}\,dx.\end{eqnarray*}$$ $son$1+x^9+x^{16}+x^{25}$- th o$32$ -th raíces de la unidad.

Answer 2

Usando la representación

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y cambiando el orden de suma e integración, obtenemos la siguiente representación integral de la suma:

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Subbing$$\psi(x) = \int_0^{\infty} dt \left (\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-x t}}{1-e^{-t}} \right ) $, obtenemos

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