Si $T$ Autoadjunto Así que T+iI es 1-1

Question

supongamos que T+iI no es 1-1 por lo que $-i$ es un valor propio, por lo que $T$ no es autoadjunta ya que la transformación autoadjunta sólo tiene valores propios reales, ¿es cierto?

Answer 1

Estos son los principales datos:

• $T-\lambda I$ no es inyectiva si $\lambda$ es un valor propio de $T$ .

• Si $T$ es autoadjunto y $\lambda$ es un valor propio de $T$ entonces $\lambda$ es real.

Answer 2

Si $v\neq0$ es tal que $Tv=-iv$ entonces $0\neq\|v\|^2=i\langle Tv,v\rangle\in\mathbb{R}$ .

Esto significa que $-\langle Tv,v\rangle=\overline{\langle Tv,v\rangle}=\langle v,Tv\rangle$ .

Si, además, $\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle$ entonces $\langle Tv,v\rangle=0$ , lo cual es una contradicción.