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Análisis complejo: los Coeficientes de la serie de Laurent

Tengo un pasado de preguntas del examen que estoy confundido con

http://i39.tinypic.com/vuwxl.png lo siento, no puedo incrustar imágenes aún

No estoy seguro de cómo abordar esto, estoy completamente perdido y sólo intentó resolver algunos:

a) se dice f(z) tiene un polo de orden 5, por lo f(z) = \frac{g(z)}{z^5}, g(z)\neq0

así que supongo que la condición es a_{4} = \frac{g^{(4)}(0)}{4!}?

c) f(\frac{1}{z}) = \frac{g(\frac{1}{z})}{z^5} => f(z) = z^5g(z)

de modo que los coeficientes se a_{n} = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma z^5g(z) dz?

d) \frac{1}{f(z)} = \frac{g(z)}{z^5} => f(z) = \frac{z^5}{g(z)}

por eso, a_{n} = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{z^5}{g(z)} dz

g) a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_ \gamma f(z) dz = \frac{1}{2\pi i} = Res(f; c)*I(\gamma; c) = -Res(f; c)

h) \frac{a_{n}}{16} = 4^{n}a_{n} => 0 = a_{n}(4^{n} - 4^{-2}) => a_{n} = 0 o n = -2

para e) y f), no estoy seguro de cuál es la relevancia de la singularidad esencial es

Bueno, creo que se puede ver claramente estoy perdido, agradecería si me pudieran ayudar.

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DonAntonio Puntos 104482

(a) Se da que f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nz^n\,\,,\,\,\text{is analytic in}\,\,\Bbb C-\{0\} y tiene un polo de orden 5 en \,z=0\, , por lo que las condiciones son a_n=0\,\,\,\forall n<-5\,\,,\,a_{-5}\neq 0

(b)\;\;\;\;\;\;\;\;f(z)-7e^{1/z}=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nz^n-\sum_{n=0}^\infty\frac{7/n!}{z^n}=\frac{a_{-5}-\frac{7}{5!}}{z^5}+\frac{a_{-4}-\frac{7}{4!}}{z^4}+... así que aquí las condiciones son a_{-5}\neq\frac{7}{5!}\,\,\,,\,\,a_{-n}=\frac{7}{n!}\,\,\forall n>5

(c)\;\;\;\;\;\;\,\,\,f(1/z)=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{a_n}{z^n}=...a_{-1}z+a_0+\frac{a_1}{z}+...\frac{a_5}{z^5} así que aquí las condiciones son a_5\neq 0\,\,,\,\,a_n=0\,\,\,\forall n>5

(d)\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\frac{1}{f(z)}\,\,\text{has a pole at zero}\,\Longleftrightarrow f(z)\,\,\text{has a zero at zero} así que aquí las condiciones son f(z)=a_5z^5+a_6z^6+...\Longrightarrow\,a_5\neq 0\,\,,\,\,a_n=0\,\,\forall n<5

(e) a partir De lo que hicimos en (c) se deduce que debe ser ese \forall m\in\Bbb N\,\,\exists\,\,n\in\Bbb N\,\,,\,n>m\,\,\,s.t.\,\,a_n\neq 0

(g) La única posible singularidad de la que preocuparse, dentro de\,|z|=1\,\,z=0\, , y, a continuación, \oint_\Gamma f(z)dz=2\pi i\,Res_{z=0}(f)=2\pi i a_{-1} por lo que el de arriba es igual a 1\Longleftrightarrow a_{-1}=-\frac{i}{2\pi}\,\,\,and\,\,\,\exists k\in\Bbb N\,\,s.t.\,\,a_{-m}=0\,\,\,\forall m>k La última parte de arriba significa la singularidad en \,z=0\, es un polo.

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