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Análisis complejo: los Coeficientes de la serie de Laurent

Tengo un pasado de preguntas del examen que estoy confundido con

http://i39.tinypic.com/vuwxl.png lo siento, no puedo incrustar imágenes aún

No estoy seguro de cómo abordar esto, estoy completamente perdido y sólo intentó resolver algunos:

a) se dice f(z) tiene un polo de orden 5, por lo f(z)=g(z)z5,g(z)0

así que supongo que la condición es a4=g(4)(0)4!?

c) f(1z)=g(1z)z5=>f(z)=z5g(z)

de modo que los coeficientes se an=12πiγz5g(z)dz?

d) 1f(z)=g(z)z5=>f(z)=z5g(z)

por eso, an=12πiγz5g(z)dz

g) a1=12πiγf(z)dz=12πi=Res(f;c)I(γ;c)=Res(f;c)

h) an16=4nan=>0=an(4n42)=>an=0 o n=2

para e) y f), no estoy seguro de cuál es la relevancia de la singularidad esencial es

Bueno, creo que se puede ver claramente estoy perdido, agradecería si me pudieran ayudar.

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DonAntonio Puntos 104482

(a) Se da que f(z)=n=anzn,is analytic inC{0} y tiene un polo de orden 5 en z=0 , por lo que las condiciones son an=0n<5,a50

(b)f(z)7e1/z=n=anznn=07/n!zn=a575!z5+a474!z4+... así que aquí las condiciones son a575!,an=7n!n>5

(c)f(1/z)=n=anzn=...a1z+a0+a1z+...a5z5 así que aquí las condiciones son a50,an=0n>5

(d)1f(z)has a pole at zerof(z)has a zero at zero así que aquí las condiciones son f(z)=a5z5+a6z6+...a50,an=0n<5

(e) a partir De lo que hicimos en (c) se deduce que debe ser ese mNnN,n>ms.t.an0

(g) La única posible singularidad de la que preocuparse, dentro de|z|=1z=0 , y, a continuación, Γf(z)dz=2πiResz=0(f)=2πia1 por lo que el de arriba es igual a 1a1=i2πandkNs.t.am=0m>k La última parte de arriba significa la singularidad en z=0 es un polo.

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