Análisis complejo: los Coeficientes de la serie de Laurent

Question

Tengo un pasado de preguntas del examen que estoy confundido con

http://i39.tinypic.com/vuwxl.png lo siento, no puedo incrustar imágenes aún

No estoy seguro de cómo abordar esto, estoy completamente perdido y sólo intentó resolver algunos:

a) se dice $f(z)$ tiene un polo de orden 5, por lo $ f(z) = \frac{g(z)}{z^5}, g(z)\neq0 $

así que supongo que la condición es $a_{4} = \frac{g^{(4)}(0)}{4!}$?

c) $f(\frac{1}{z}) = \frac{g(\frac{1}{z})}{z^5} => f(z) = z^5g(z)$

de modo que los coeficientes se $a_{n} = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma z^5g(z) dz$?

d) $\frac{1}{f(z)} = \frac{g(z)}{z^5} => f(z) = \frac{z^5}{g(z)}$

por eso, $a_{n} = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{z^5}{g(z)} dz$

g) $a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_ \gamma f(z) dz = \frac{1}{2\pi i} = Res(f; c)*I(\gamma; c) = -Res(f; c)$

h) $\frac{a_{n}}{16} = 4^{n}a_{n} => 0 = a_{n}(4^{n} - 4^{-2}) => a_{n} = 0$ o $n = -2$

para e) y f), no estoy seguro de cuál es la relevancia de la singularidad esencial es

Bueno, creo que se puede ver claramente estoy perdido, agradecería si me pudieran ayudar.

Answer 1

(a) Se da que $$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nz^n\,\,,\,\,\text{is analytic in}\,\,\Bbb C-\{0\}$$ y tiene un polo de orden 5 en $\,z=0\,$ , por lo que las condiciones son $$a_n=0\,\,\,\forall n<-5\,\,,\,a_{-5}\neq 0$$

$$(b)\;\;\;\;\;\;\;\;f(z)-7e^{1/z}=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nz^n-\sum_{n=0}^\infty\frac{7/n!}{z^n}=\frac{a_{-5}-\frac{7}{5!}}{z^5}+\frac{a_{-4}-\frac{7}{4!}}{z^4}+...$$ así que aquí las condiciones son $$a_{-5}\neq\frac{7}{5!}\,\,\,,\,\,a_{-n}=\frac{7}{n!}\,\,\forall n>5$$

$$(c)\;\;\;\;\;\;\,\,\,f(1/z)=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{a_n}{z^n}=...a_{-1}z+a_0+\frac{a_1}{z}+...\frac{a_5}{z^5}$$ así que aquí las condiciones son $$a_5\neq 0\,\,,\,\,a_n=0\,\,\,\forall n>5$$

$$(d)\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\frac{1}{f(z)}\,\,\text{has a pole at zero}\,\Longleftrightarrow f(z)\,\,\text{has a zero at zero}$$ así que aquí las condiciones son $$f(z)=a_5z^5+a_6z^6+...\Longrightarrow\,a_5\neq 0\,\,,\,\,a_n=0\,\,\forall n<5$$

(e) a partir De lo que hicimos en (c) se deduce que debe ser ese $\forall m\in\Bbb N\,\,\exists\,\,n\in\Bbb N\,\,,\,n>m\,\,\,s.t.\,\,a_n\neq 0$

(g) La única posible singularidad de la que preocuparse, dentro de$\,|z|=1\,$$\,z=0\,$ , y, a continuación, $$\oint_\Gamma f(z)dz=2\pi i\,Res_{z=0}(f)=2\pi i a_{-1}$$ por lo que el de arriba es igual a $$1\Longleftrightarrow a_{-1}=-\frac{i}{2\pi}\,\,\,and\,\,\,\exists k\in\Bbb N\,\,s.t.\,\,a_{-m}=0\,\,\,\forall m>k$$ La última parte de arriba significa la singularidad en $\,z=0\,$ es un polo.