Máximo Número Más Pequeño

Question

Se topó con un problema interesante que no tengo idea de cómo resolver, pero tienen el deseo de.

Sea a y b dos números reales positivos y deje $m$(a,b) ser el más pequeño de los tres números $a,$ $1/b$ y $1/a + b.$ Para que los pares (a,b) es $m$(a,b) máxima? Probar!

Answer 1

No es demasiado difícil ver que el máximo sólo puede producirse por $a=\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+b$.

Supongamos, por ejemplo, que $a<\min(\frac{1}{b},b+\frac{1}{a})$, entonces podemos aumentar el $a$ un poco y mejorar nuestra $m(a,b)$. Para $\frac{1}{b}$ $b+\frac{1}{a}$ cosas similares suceden.

Por lo tanto $a=\frac{1}{b} = b+\frac{1}{a}$ implica $a = \sqrt{2}$$b = \frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Comprobación de la respuesta es muy fácil:

Supongamos que $m(a,b)>\sqrt{2}$,$a>\sqrt{2}$$\frac{1}{b}>\sqrt{2}$. Pero, a continuación,$\frac{1}{a}<\frac{1}{2}\sqrt{2}$$b<\frac{1}{2}\sqrt{2}$, lo $b+\frac{1}{a}<\sqrt{2}$. Una contradicción.

Por lo tanto $m(a,b)\leq\sqrt{2}$ todos los $a$$b$. Ya sabemos que $m(\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2})=\sqrt{2}$, por lo tanto esta es la óptima.

Answer 2

Primer paso: Supongamos $m(a,b)\ge 2$. A continuación,$a \ge 2$$\frac 1b \ge 2$. Pero, a continuación,$\frac 1a \le \frac 12$$b\le \frac 12$, lo $\frac 1a + b \le 1$. Por lo tanto $m(a,b)\ge 2$ es imposible.

Segundo paso: $a=b=1$$m(a,b)=\min(1,1,2)=1$, lo $m(a,b)=1$ es posible.