Función continua en $[0,1]$, $f(0)=f(1)$

Question

Me encontré con esta pregunta muy interesante, que parece ser parcialmente contestada en un par de mensajes por aquí:
Deje $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ continua tal que $f(0)=f(1)$. A continuación, para todos los $n>1\in \mathbb{N}$ existe $x_n\in [0,1-1/n]$ tal que $f(x_n)=f(x_n+1/n)$. El caso de $n=2$ es sencillo y ha sido respondida en este foro ya. Pero para $n>2$ me parece que no puede usar la misma lógica (teorema del valor intermedio). Alguna idea?

Answer 1

Considere la función $$g(x) = f(x+\frac{1}{n}) - f(x)$$ Entonces $$g(0)+g(1/n)+\cdots+g((n-1)/n) = f(1)-f(0)=0$$ Hence for some $i\neq j$, we have $g(i/n) \geq 0$ and $g(j/n) \leq 0$. The intermediate value says there exist $\xi$ such that $g(\xi) = 0$.

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Por otro lado, para cualquier $\alpha$ no de la forma $1/n$, se puede construir una función continua $f_\alpha: [0,1]\to \mathbb{R}$, $f_\alpha(0)=f_\alpha(1)$ tal que $f_\alpha(x+\alpha) = f_\alpha(x)$ no tiene solución.