Método para resolver esta integral con algebraicas y trigonométricas en términos

Question

Tengo la integral definida $\displaystyle\int_{0}^{\pi }\frac{x^2 \cos(x)}{(1+ \sin(x))^2}\,dx.$
Ya que hay tanto algebraicas y trigonométricas funciones en el numerador, no sé lo que la sustitución de hacer. ¿Puede alguien decir que el método de solución de la integral anterior (y no la solución completa). No quiero que la antiderivada, sólo la integral definida.

Nota: La respuesta es $\pi(2-\pi).$

Answer 1

Sugerencia. Por integración por partes, $$\int_{0}^{\pi }\frac{x^2 \cos(x)}{(1+\sin(x))^2}dx=-\left[\frac{x^2}{1+\sin (x)}\right]_0^{\pi}+2\int_{0}^{\pi }\frac{x }{1+\sin (x)}dx.$$ Para la segunda integral el uso de la simetría $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ y, a continuación, deje $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$.

Se puede tomar desde aquí?